자기 벡터 포텐셜 A는 B = rot A로 정의된다. 자속밀도 B의 회전이 전류밀도와 연결되는 구조이고, 자계 H의 회전은 전류밀도 i에 대응한다. 시간적으로 변하는 자계에서는 벡터 포텐셜의 시간미분이 유도 전계를 만든다. 스칼라 퍼텐셜의 영향이 없다고 가정하면 전계의 세기 E는 A의 시간미분에 마이너스를 붙인 식으로 나타낸다.
거리 의존성에서는 전류로부터 생기는 벡터 포텐셜이 거리에 반비례한다. 전하나 쌍극자 등 다른 근원들은 서로 다른 거리 의존성을 가지므로 구분해야 한다.
원통형 도선처럼 원통 대칭인 문제에서는 B = −dA/dr 관계를 쓰고, B를 거리 r로 적분해 A를 구한다. 도선 중심에서 A를 0으로 잡으면 도선 내부 적분으로 경계값 A(a)를 얻고, 외부 적분에 ln(r/a) 항이 더해진다. 이때 내부 항과 외부 항을 모두 놓치지 않는 것이 열쇠다.
계산에는 μ₀I/4π = 10⁻⁷I, μ₀I/2π = 2×10⁻⁷I, ln(eⁿ) = n 셋이 자주 쓰인다. ln값을 잘못 잡거나 내부 항을 빠뜨리면 다른 선지에 걸린다.
예제
반지름 a=1 m인 무한히 긴 원통형 도선에 전류밀도 J=10 A/m²로 축 방향 전류가 흐를 때, 중심에서 A=0으로 잡으면 r=e² m 지점의 A를 구해 본다.
① 전체 전류: I = J×πa² = 10×π×1² = 10π A
② 도선 내부 적분(0 → a): A(a) = μ₀I/4π = 10π×10⁻⁷ Wb/m
③ 외부 적분(a → e²): A = A(a) + (μ₀I/2π)ln(e²/1) = 10π×10⁻⁷ + 20π×10⁻⁷×2 = 50π×10⁻⁷ = 5π×10⁻⁶ Wb/m
여기서 ln(e²) = 2를 쓴다. ln값을 3이나 4로 잘못 잡거나 내부 항 A(a)를 누락하면 오답이 된다.
대표 기출 3문항
진공 중에 놓인 반지름 a=1[m]인 무한히 긴 원통형 도선에 일정한 전류밀도 J=10[A/m²]로 전류가 도선의 축 방향으로 흐르고 있다. 도선의 중심(r=0)에서 자기 벡터 포텐셜(자위) A를 0이라고 할 때, 도선 외부의 한 점 r=e²[m] (e는 자연대수)에서의 자기 벡터 포텐셜 A의 크기는? (단, 진공의 투자율 μ₀=4π×10⁻⁷[H/m]이다)
3π×10⁻⁶ [Wb/m]
4π×10⁻⁶ [Wb/m]
5π×10⁻⁶ [Wb/m]
6π×10⁻⁶ [Wb/m]
정답과 해설 보기
정답 ③ · 도선에 흐르는 전체 전류 I는 전류밀도 J와 단면적의 곱으로 I = J × πa² = 10 × π × 1² = 10π[A]이다. 앙페르의 우나사 법칙에 의해 도선 내부(r<a)의 자속밀도는 B_in = μ₀Ir / (2πa²)이고, 외부(r>a)의 자속밀도는 B_out = μ₀I / (2πr)이다.
A는 B를 r로 적분해 구한다: A(r) = μ0I/4π + (μ0I/2π)ln(r/a), r = e²에서 ln = 2 → 5π×10⁻⁶ Wb/m.
전하 혹은 전류 중심으로부터 거리 R에 반비례하는 것은?
균일 공간 전하밀도를 가진 구상전하 내부의 전계의 세기
원통의 중심축 방향으로 흐르는 균일 전류밀도를 가진 원통도체 내부의 자계의 세기
전기쌍극자에 기인된 외부 전계내의 전위
전류에 기인된 자계의 벡터포텐샬
정답과 해설 보기
정답 ④ · 문항은 어떤 물리량이 거리 R에 반비례하는지 묻는다. 전류에 기인한 벡터 포텐셜은 원거리에서 전류원으로부터의 거리에 대해 대개 1/R로 감소하는 형태를 가진다(국소화된 전류분포의 선형 근사).
정자계 현상에 대하여 전류에 의한 자계에 관하여 성립하지 않는 식은? (단, H는 자계, B는 자속밀도, A는 자계의 벡터포텐셜, μ는 투자율, i는 전류밀도이다.)
H=1/μ rot A
rot A=-μi
div B=0
rot H=i
정답과 해설 보기
정답 ② · 문제는 전류에 의한 자계 관련 식들 가운데 성립하지 않는 것을 묻는다. 벡터포텐셜 A에 대해 rot A = B이고 B = μH이므로 H = (1/μ) rot A는 맞다(1번).