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전기산업기사 라플라스 변환 — 기본 변환쌍 δ(t)·tⁿ·e^at

라플라스 변환은 시간 함수를 s의 함수로 바꾸는 도구다. 정의는 F(s) = ∫₀^∞ e^(-st) f(t) dt이며, 회로이론에서 기본 변환쌍 몇 개를 정확히 외우는 것이 핵심이다.

2026-10-31 기준 · 전기산업기사 대시보드

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시험에 이렇게 나온다

출제기준 단원 「라플라스 변환」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.

묻는 꼴문제 수무엇을 묻나
임펄스 함수 변환1δ(t)의 라플라스 변환값을 기본 변환쌍에서 가리기
거듭제곱 함수 계산1tⁿ 공식에 대입해 계수와 분모 지수까지 정확히 구하기
지수함수 변환1지수 부호에 따른 1/(s−a)와 1/(s+a)를 가림

뜻

라플라스 변환은 시간 영역의 함수 f(t)를 복소주파수 영역의 함수 F(s)로 바꾸는 수학적 도구다. 정의식은 F(s) = ∫₀^∞ e^(-st) f(t) dt이고, 미분방정식을 대수방정식으로 바꿔 회로 해석을 쉽게 해 준다.

기본 변환쌍 중 첫째는 단위 임펄스 함수 δ(t)다. δ(t)는 t=0 순간에만 존재하고 전체 면적이 1인 아주 짧고 강한 펄스다. 정의식에 넣으면 δ(t)가 t=0에서만 있으므로 e^(-s·0) = e⁰ = 1만 남아 L[δ(t)] = 1이 된다. 같은 방식으로 단위계단함수 u(t)는 1/s, 램프함수 t는 1/s²이다. 계단·램프로 갈수록 분모에 s가 하나씩 붙는다.

둘째는 t의 거듭제곱이다. L[tⁿ] = n!/s^(n+1) 공식을 쓴다. 분자는 계승(n!), 분모는 s의 (n+1)제곱이다. t¹은 1/s², t²은 2/s³, t³은 6/s⁴ — 분자 1, 2, 6과 분모 s², s³, s⁴의 짝으로 외우면 편하다. 함수에 상수가 곱해져 있으면 그 상수를 결과에 그대로 곱한다.

셋째는 지수함수다. L[e^(at)] = 1/(s−a)이고, 부호가 반대인 e^(-at)은 1/(s+a)가 된다. 정의식에 e^(at)을 넣으면 지수가 합쳐져 e^(-(s−a)t)가 되고 적분하면 1/(s−a)가 나온다. 「지수의 a가 s에서 빼진다」로 기억한다. 지수 부호 하나로 결과가 달라지므로 주의가 필요하다.

예제

f(t) = At²의 라플라스 변환을 구해 본다. L[tⁿ] = n!/s^(n+1)에 n=2를 대입하면 L[t²] = 2!/s³이고, 2! = 2이므로 상수 A를 곱해 L[At²] = 2A/s³이다. 계승을 빠뜨려 A/s³로 쓰거나, n=1일 때의 A/s²을 고르는 것이 대표적인 실수다.

a가 상수이고 t＞0일 때 f(t) = e^(at)의 라플라스 변환은 1/(s−a)다. 1/(s+a)는 e^(-at)의 변환 결과이고, s² 항이 들어간 형태는 사인·코사인 계열 공식이라 지수함수와는 무관하다.

대표 기출 3문항

단위 임펄스 δ(t)의 라플라스 변환은?

  1. e-s
  2. 1/s
  3. 1/s2
  4. 1
정답과 해설 보기

정답 ④ · 정답은 1입니다. 단위 임펄스 함수 δ(t)\delta(t)의 라플라스 변환은 정의에 따라 L[δ(t)]=∫0∞δ(t)e−stdt=1\mathcal{L}[\delta(t)] = \displaystyle\int_0^\infty \delta(t)e^{-st}dt = 1입니다.

단위 임펄스 δ(t)의 라플라스 변환은 1이다(u(t)→1/s, t→1/s²).

f(t)=At2의 라플라스 변환은?

  1. A/s2
  2. 2A/s2
  3. A/s3
  4. 2A/s3
정답과 해설 보기

정답 ④ · 라플라스 변환 공식 L[tn]=n!sn+1\mathcal{L}[t^n]=\dfrac{n!}{s^{n+1}}을 이용한다. f(t)=At2f(t)=At^2이므로 n=2n=2를 대입하면 L[At2]=A⋅2!s3=2As3\mathcal{L}[At^2]=A\cdot\dfrac{2!}{s^3}=\dfrac{2A}{s^3}이다.

라플라스 변환 L[tⁿ]=n!/s^(n+1)이므로 t²는 2!/s³, 계수 A를 곱해 2A/s³이다.

a가 상수, t＞0일 때 f(t)=eat의 라플라스 변환은?

  1. 1/s-a
  2. 1/s+a
  3. 1/s2-a2
  4. 1/s2+a2
정답과 해설 보기

정답 ① · 지수함수 f(t)=eat (t>0)f(t)=e^{at}\ (t>0)의 라플라스 변환은 정의식 F(s)=∫0∞e−stf(t) dt=∫0∞e−(s−a)tdt=1s−aF(s)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}dt=\dfrac{1}{s-a} (단, Re(s)>a\mathrm{Re}(s)>a)로 유도된다. 따라서 정답은 1s−a\dfrac{1}{s-a}이다.

지수함수의 라플라스 변환은 L[e^{at}]=1/(s−a), e^{−at}이면 1/(s+a)다.

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자주 묻는 물음

임펄스 함수 δ(t)를 라플라스 변환하면 왜 값이 1로 떨어지는가?
δ(t)는 t=0 순간에만 존재하므로 정의식의 e^(-st)에 t=0을 넣은 e⁰ = 1만 적분에 남는다. 그래서 L[δ(t)] = 1이 된다.
δ(t), u(t), t의 변환 결과를 어떻게 외우면 좋은가?
δ(t)→1, u(t)→1/s, t→1/s²의 세트로 외운다. 계단·램프로 갈수록 분모에 s가 하나씩 붙는 규칙이 있다.
tⁿ의 라플라스 변환 공식은 무엇인가?
L[tⁿ] = n!/s^(n+1)이다. 분자는 계승 n!, 분모는 s의 (n+1)제곱이고, 상수가 곱해져 있으면 그대로 곱한다.
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