개념 한 쪽
전기기사 변위전류 등 — 변위전류 밀도와 파동 방정식
맥스웰 방정식에서 변위전류는 전기장이 시간에 따라 변할 때 생기는 전류다. 전하가 실제로 이동하지 않아도 변하는 전기장이 자계를 만든다는 것을 설명하는 개념이다. 시간적으로 변하는 전자계에서 파동 방정식을 세울 때도 변위전류 항이 들어간다.
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뜻
변위전류 밀도는 전기변위 D를 시간으로 미분한 값이다. Jd = ∂D/∂t = ε(∂E/∂t)로 나타낸다. 전기장의 시간 변화율에 유전율을 곱하는 것이 계산의 전부다. 균일평면파처럼 전기장이 코사인 형태로 변할 때는 미분하면서 각주파수 ω가 진폭에 곱해지고, sin의 최댓값이 1이므로 크기의 최댓값은 ε × ω × E의 진폭이 된다.
앙페르 법칙은 매질에 전원 전류와 도전전류가 있을 때 ∇×H = Jₛ + σE + ε∂E/∂t가 된다. 여기서 ε∂E/∂t 항이 바로 변위전류 항이다. 도전전류 σE는 전하의 실제 이동에 해당하고, 변위전류는 전하 이동 없이 변하는 전기장이 자계를 만들게 하는 항이다.
전원 전류 Jₛ가 존재하는 도체성 매질에서 전기장에 대한 파동 방정식을 세우려면 앙페르 법칙의 양변에 회전을 취하고 패러데이 법칙 ∇×E = −μ∂H/∂t를 대입해 정리한다. 결과는 ∇²E − με∂²E/∂t² − μσ∂E/∂t = μ∂Jₛ/∂t가 된다. 왼쪽에 전파 항(με)과 도체 손실 항(μσ)이 있고, 전원이 있으면 우변이 0이 아니라 μ∂Jₛ/∂t가 된다는 점이 특징이다.
파동 방정식의 항을 확인하는 요령은 간단하다. 전원 Jₛ가 있으면 우변에 μ∂Jₛ/∂t가 있어야 하고, 도전율 σ가 있으면 1차 시간미분 항 −μσ∂E/∂t가 있어야 한다. 이 두 항만 먼저 세어도 보기를 가릴 수 있다.
예제
대표 계산 1 — 변위전류 밀도 최댓값: 진공 유전율을 36π분의 10⁻⁹ [F/m] 값으로 잡은 유전체(ε = 2ε₀, 무손실)에 E = 50cos(10⁸t − z) [V/m]의 평면파가 전파할 때, |Jd|max = ε × ω × E의 진폭 = 2 × (10⁻⁹/36π) × 10⁸ × 50 = 5×10⁹ × (10⁻⁹/18π) × ... 전개하면 10/(36π) ≈ 8.84×10⁻² [A/m²]가 된다. ε = 2ε₀의 2배를 빠뜨리거나 미분할 때 ω = 10⁸을 곱하는 것을 놓치면 오답에 빠진다.
자주 묻는 물음
- 변위전류 밀도는 어떻게 구하나요?
- 전기변위를 시간으로 미분한 Jd = ∂D/∂t = ε(∂E/∂t)로 구한다. 균일평면파의 최댓값은 ε × ω × 진폭 세 수의 곱으로 바로 계산한다.
- 전원 전류가 있는 매질의 전기장 파동 방정식은 어떤 꼴인가요?
- ∇²E − με∂²E/∂t² − μσ∂E/∂t = μ∂Jₛ/∂t이다. 전원이 있으면 우변이 0이 아니고, 도전율이 있으면 1차 시간미분 항이 반드시 들어간다.
- 파동 방정식 보기에서 오답을 가리는 요령은 무엇인가요?
- 전원 Jₛ가 있으면 우변에 μ∂Jₛ/∂t가 있는지, σ가 있으면 −μσ∂E/∂t 항이 있는지부터 확인한다. 이 두 항의 유무만 세어도 가릴 수 있다.
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