개념 한 쪽
전기기사 인가전압이 있는 경우의 전자방정식 등 — 전원 있는 파동방정식 항 확인
매질이 갖는 도전율 σ, 유전율 ε, 투자율 μ 조건 아래 밖에서 가해진 전압으로 생긴 전원 전류밀도 Jₛ가 존재하면, 전기장 E에 대한 파동 방정식에 전원 항이 나타난다. 앙페르 법칙에 회전을 취하고 패러데이 법칙을 대입해 유도하는 과정과, 식을 이루는 항을 구분하는 것이 핵심이다.
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뜻
맥스웰 방정식 중 앙페르 법칙은 ∇×H = Jₛ + σE + ε∂E/∂t 꼴로 쓴다. 오른쪽 세 항은 차례로 전원 전류, 도전전류, 변위전류이다. 전원 전류 Jₛ가 없는 영역에서는 Jₛ 항이 사라지고, 매질에 도전율이 없으면 σE 항이 사라진다.
전기장에 대한 파동 방정식을 얻으려면 이 식의 양변에 회전(∇×)을 취한다. 그리고 패러데이 법칙 ∇×E = −μ∂H/∂t를 대입해 H를 없애고 정리하면 ∇²E − με∂²E/∂t² − μσ∂E/∂t = μ∂Jₛ/∂t가 나온다. 왼쪽의 με∂²E/∂t²는 파동의 전파를 나타내는 항이고, μσ∂E/∂t는 도체 손실을 나타내는 1차 미분 항이다. 전원이 있으므로 오른쪽이 0이 아니라 μ∂Jₛ/∂t가 된다.
선지를 가릴 때는 항의 구성을 세는 것이 가장 빠르다. 전원 Jₛ가 있으면 우변에 μ∂Jₛ/∂t가 있어야 하고, 도전율 σ가 있으면 −μσ∂E/∂t 항이 있어야 한다. 오른쪽이 0인 식은 무전원(Jₛ = 0) 영역의 식이고, 도전전류 항이 빠진 식은 σ를 가진 매질의 식이 아니다. ∇²E 항과 με 2차 미분 항, μσ 1차 미분 항, 우변 전원 항, 이 네 가지를 모두 갖추었는지 확인하면 답이 정해진다.
예제
전기장 파동 방정식 문제의 대표 풀이는 다음과 같다. ∇×H = Jₛ + σE + ε∂E/∂t의 양변에 회전을 취하고 ∇×E = −μ∂H/∂t를 대입해 정리하면 ∇²E − με∂²E/∂t² − μσ∂E/∂t = μ∂Jₛ/∂t가 된다. 전원 항과 도전전류 항을 모두 갖춘 식이 옳은 답이다.
틀린 선지는 항의 결함으로 가린다. 오른쪽이 0인 식은 무전원 영역의 식이고, 도전전류 항 μσ∂E/∂t가 빠진 식은 도전율을 가진 매질에 맞지 않는다. 2차 미분 항의 부호가 틀린 식도 정리 과정의 오류이다. '전원 있으면 우변에 μ∂Jₛ/∂t, σ 있으면 −μσ∂E/∂t'의 두 항부터 확인하는 것이 풀이의 순서다.
자주 묻는 물음
- 전원 전류밀도 Jₛ가 있는 매질의 전기장 파동 방정식은 어떻게 유도하나요?
- 앙페르 법칙 ∇×H = Jₛ + σE + ε∂E/∂t의 양변에 회전을 취하고, 패러데이 법칙 ∇×E = −μ∂H/∂t를 대입해 정리한다. 결과는 ∇²E − με∂²E/∂t² − μσ∂E/∂t = μ∂Jₛ/∂t다.
- 파동 방정식에서 각 항은 무엇을 뜻하나요?
- με∂²E/∂t²는 파동의 전파 항, μσ∂E/∂t는 도체 손실 항이다. 오른쪽 μ∂Jₛ/∂t는 전원 항으로, 전원이 있는 영역에서는 우변이 0이 되지 않는다.
- 선지를 가릴 때 무엇부터 확인해야 하나요?
- 전원 Jₛ가 있으면 우변에 μ∂Jₛ/∂t가 있는지, 도전율 σ가 있으면 −μσ∂E/∂t 항이 있는지부터 센다. 오른쪽이 0이면 무전원 영역의 식이고, 도전전류 항이 없으면 σ를 가진 매질의 식이 아니다.
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