전기기사 맥스웰의 전자파방정식 — 파동방정식·변위전류

맥스웰 방정식 중 앙페르 법칙은 ∇×H = Jₛ + σE + ε∂E/∂t 로 나타낸다. 오른쪽의 세 항은 각각 전원 전류, 도전 전류, 변위 전류를 뜻한다. 전원 전류(Jₛ)가 있는 매질에서 이 식의 양변에 회전을 취하고 패러데이 법칙 ∇×E = −μ∂H/∂t 를 대입해 정리하면, 전기장에 대한 파동 방정식 ∇²E − με∂²E/∂t² − μσ∂E/∂t = μ∂Jₛ/∂t 가 나온다. 왼쪽에 전파 항(με)과 도체 손실 항(μσ)이 있고, 오른쪽에 전원 항이 붙는 것이 전원 있는 도체 매질의 특징이다.

맥스웰 방정식에서 파생하는 대표적인 양이 변위 전류이다. 변위 전류 밀도는 Jd = ∂D/∂t = ε∂E/∂t 로 정의한다. 전기장이 시간에 따라 변할 때 유전율을 곱한 값이며, 균일평면파 E = Eₘcos(ωt − βz) 를 시간으로 미분하면 진폭에 각주파수 ω가 곱해진다. 따라서 최댓값은 |Jd|max = εωEₘ 세 수의 곱으로 구한다.

전자계에서 다루는 기본 관계식도 맥스웰 방정식과 한 세트로 묶인다. 전기 쪽은 D = ε₀E + P 관계가 대표적이다. 전속밀도 D는 진공 몫 ε₀E에 유전체가 추가로 만드는 분극 몫 P를 더한 값이므로, 분극도는 P = ε₀(εr − 1)E 로 구한다. D를 구할 때는 상대유전율 εr을, P를 구할 때는 (εr − 1)을 쓴다는 점을 구분해야 한다.

자기 쪽은 자성체 내부의 자속밀도가 B = μ₀H + J 로 구성된다. 진공 성분 μ₀H에 자성체가 자화되며 더해지는 자화의 세기 J가 합쳐진 값이다. 자화의 세기를 구하려면 측정된 B에서 진공 몫 μ₀H를 빼면 된다. 또 자기장이 퍼진 공간에는 에너지가 저장되는데, 단위 체적당 자계에너지 밀도는 wm = (1/2)BH 로 정의하고 B = μH 를 대입해 (1/2)μH² 또는 B²/(2μ) 로 나타낸다.

점전하가 만드는 전계처럼 정전기적 양도 이 개념의 기초가 된다. 진공에서 점전하 Q로부터 거리 r 떨어진 점의 전계 세기는 E = Q/(4πε₀r²) 이고, 쿨롱 상수 k를 쓰면 E = kQ/r² 이다. 거리의 제곱에 반비례하므로 거리가 2배가 되면 전계는 1/4로 줄어든다. 두 점전하 사이의 힘도 같은 꼴인 F = kq₁q₂/r² 로 주어진다.