개념 한 쪽
전기기사 자계에너지 등 — 점전하 전계와 쿨롱 법칙
전하 주변에는 다른 전하에 힘을 미치는 전계가 생긴다. 점전하가 만드는 전계의 세기는 거리의 제곱에 반비례하며, 두 점전하 사이에 작용하는 힘은 쿨롱의 법칙으로 구한다. 유전체 속 전계는 전속밀도와 분극도로 나누어 다룬다.
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뜻
진공 중 점전하 Q가 만드는 전계의 세기는 E = kQ/r²[V/m]로 구한다. 쿨롱 상수 k에 전하량을 곱한 뒤 거리의 제곱으로 나누는 꼴이며, 거리를 제곱하지 않고 나누면 값이 틀어진다. 계산할 때는 거리 단위를 미터로 바꾸고 r²을 먼저 계산하는 것이 안전하다.
두 점전하 사이의 힘은 쿨롱의 법칙 F = kq₁q₂/r²로 구한다. 두 전하량이 같으면 q²이 들어가므로 q = √(Fr²/k)로 거꾸로 전하량을 구할 수도 있다. 이때도 거리를 cm에서 m로 환산하는 과정이 최대의 함정이 된다.
유전체에 전계를 걸면 분자가 정렬하면서 분극이 일어난다. 전속밀도는 D = ε₀E + P의 관계로 나타내며, 분극도 P는 유전체가 추가로 만드는 성분이므로 P = ε₀(εr−1)E로 구한다. 전속밀도 D를 구할 때는 εr을, 분극도 P를 구할 때는 (εr−1)을 곱하는 점이 구분점이다.
도체구를 도선으로 연결하면 전하가 이동해 두 구의 전위가 같아진다. 이때 같아지는 것은 전위이지 전하량이 아니므로, 전하는 정전용량 비인 반지름 비로 분배된다. 분배된 전하를 다시 쿨롱의 법칙에 대입하면 두 도체구 사이의 힘을 구할 수 있다.
예제
점전하 +8[μC]에서 4[m] 떨어진 점의 전계는 E = kQ/r²에 대입해 (9×10⁹ × 8×10⁻⁶) ÷ 4² = 72×10³ ÷ 16 = 4.5×10³[V/m]이 된다. r²인 16으로 나누는 것이 핵심이다.
전기량이 서로 같은 두 점전하가 30[cm] 간격으로 놓여 반발력 0.4[N]를 받을 때는 F = kq²/r²에서 q² = Fr²/k = 0.4 × 0.09 ÷ 9×10⁹ = 4×10⁻¹²이므로 q = 2×10⁻⁶[C]다. 30cm를 0.3m로 환산하고 r² = 0.09부터 계산하면 깔끔하게 떨어진다.
상대유전율 4, 전계 5,000[V/m]인 유전체의 분극도는 P = ε₀(εr−1)E = 8.85×10⁻¹² × 3 × 5,000 = 132.75[nC/m²]다. εr = 4를 그대로 곱하면 전속밀도 D의 값이 되어 다른 답에 빠진다.
자주 묻는 물음
- 점전하의 전계 세기는 거리에 어떻게 비례하나요?
- E = kQ/r²로 거리의 제곱에 반비례한다. 계산 전에 r²부터 구하고 단위를 미터로 환산하는 실수를 하지 않도록 주의한다.
- 분극도 P를 구할 때 εr을 그대로 쓰면 안 되나요?
- 안 된다. εr을 곱한 ε₀εrE는 전속밀도 D의 값이다. 분극도는 진공 성분 ε₀E를 뺀 유전체 고유 성분이므로 P = ε₀(εr−1)E처럼 (εr−1)을 곱한다.
- 두 도체구를 도선으로 연결하면 전하는 어떻게 나뉘나요?
- 전위가 같아질 뿐 전하가 절반씩 나눠지는 것은 아니다. 정전용량이 반지름에 비례하므로 전하는 반지름 비로 분배되고, 총전하는 보존된다.
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