개념 한 쪽
전류밀도는 도체를 흐르는 전류와 변위전류로 나누어 본다. 변위전류밀도는 전기장이 시간에 따라 변할 때 생기며 유전율과 전계의 시간미분으로 구한다. 자계가 주어진 경우에는 회전(curl)을 계산해 전류밀도를 얻는다.
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출제기준 단원 「전류와 전류밀도」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 변위전류밀도 최댓값 계산 | 1 | 유전율·각주파수·진폭의 곱으로 최댓값 구하기 |
| 자계 회전 계산 | 1 | 주어진 점에서 자계 회전으로 전류밀도 구하기 |
| 변위전류밀도 개념 판단 | 1 | 유전률과 정현파 전계로 변위 전류밀도 구하기 |
변위전류밀도는 전기장이 시간에 따라 변할 때 생기는 전류밀도다. 전속밀도 D를 시간으로 미분한 Jd = ∂D/∂t = ε(∂E/∂t)로 구한다. 전기장을 시간으로 미분한 뒤 유전율을 곱하는 것이 계산의 전부다.
정현파 전계에서는 미분에 의해 각주파수 ω가 진폭에 곱해지고 삼각함수가 sin으로 바뀐다. 최댓값은 |Jd|max = ε × ω × 진폭 세 수의 곱으로 바로 구한다. 삼각함수의 최댓값은 1이므로 크기만 남는다.
변위전류는 전기장의 시간 변화가 있을 때 마치 전류처럼 작용해 자기장을 만든다. 변화가 전혀 없으면 변위전류는 없어진다. 전계나 전속밀도와는 관련되지만 자계의 세기와는 직접적인 관계가 없다. 주파수가 높을수록 변위전류밀도는 커진다.
자계분포 H가 주어진 경우에는 전류밀도를 자계의 회전(curl)으로 구한다. 각 성분을 편미분해 회전 벡터를 차례로 계산하고, 주어진 좌표값을 대입한 뒤 벡터의 크기를 구하면 된다.
무손실 유전체(ε = 2ε₀) 안에 E = 50cos(10⁸t − z) [V/m]가 전파할 때 변위전류밀도 최댓값을 구한다. 전계를 t로 미분하면 −50×10⁸ sin(10⁸t − z)이 되고 sin의 최댓값은 1이므로 진폭은 5×10⁹다. |Jd|max = 2×(10⁻⁹/36π) × 5×10⁹ = 10/(36π) ≈ 8.84×10⁻² [A/m²]다.
이 계산의 함정은 두 가지다. ε = 2ε₀의 '2배'를 빠뜨리면 절반짜리 오답이 되고, 미분할 때 ω = 10⁸이 곱해지는 것을 놓치면 다른 오답에 빠진다. 최댓값 문제는 ε×ω×진폭의 곱으로 끝낸다.
유전율이 ε = 2ε₀, 투자율이 μ = μ₀인 무손실 유전체 내에 E(z, t) = 50 cos(10⁸t - z) [V/m]의 균일평면파가 전파하고 있다. 이 유전체 내에서 변위전류 밀도 벡터 Jd의 크기의 최댓값 [A/m²]은? (단, ε₀ = 10⁻⁹/(36π) [F/m] 이다.)
정답 ① · 변위전류 밀도는 Jd = ∂D/∂t = ε(∂E/∂t)로 정의된다. 주어진 전기장을 시간에 대해 미분하면 ∂E/∂t = -50 × 10⁸ sin(10⁸t - z)이며, 그 크기의 최댓값은 5 × 10⁹이다.
변위전류 밀도 최댓값 |Jd|max = ε·ω·Eₘ = 2×(10⁻⁹/36π)×10⁸×50 ≈ 8.84×10⁻² [A/m²]이다.
자계분포 H =xy j -xz k [A/m]를 발생시키는 점(1,1,1)[m] 에서의 전류밀도는 몇 A/m2 인가?
정답 ③ · 문제는 주어진 자계분포에서 해당 점의 전류밀도(=curl H)를 묻고 있다. curl H를 성분별로 계산하면 i성분은 ∂Hz/∂y-∂Hy/∂z=0, j성분은 ∂Hx/∂z-∂Hz/∂x=0-(-z)=z, k성분은 ∂Hy/∂x-∂Hx/∂y=y가 된다.
전력용 유입 커패시터가 있다. 유(기름)의 비유전률이 2 이고 인가된 전계 E =200sinωt ax[V/m]일 때 커패시터 내부에서의 변위 전류밀도는 몇 A/m2 인가?
정답 ① · 변위전류밀도 Jd는 ε dE/dt로 주어진다. 유전률이 ε=εr ε0=2ε0이고 E=200 sinωt ax이므로 dE/dt=200ω cosωt ax이고 Jd=2ε0·200ω cosωt ax=400ε0 ω cosωt ax이다.
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