개념 한 쪽
대전된 도체구끼리 도선으로 연결하면 전하가 이동해 두 구의 전위가 같아진다. 이때 전하량 자체가 같아지는 것이 아니라, 정전용량에 비례해 분배된다. 분배된 전하를 알면 쿨롱의 법칙으로 두 구 사이의 정전기력을 구할 수 있다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
출제기준 단원 「2개의 도체구 등」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 분배 전하 후 쿨롱력 계산 | 1 | 반지름 비로 분배된 전하를 쿨롱 법칙에 대입해 힘 구하기 |
| 접촉 시 에너지 손실 원리 | 1 | 전하 분배로 인한 전계 에너지 손실의 원인을 가림 |
| 공통 전위 계산 | 1 | 전위가 다른 두 구 접속 시 반지름 가중평균 전위 구하기 |
고립 도체구의 정전용량은 반지름에 비례한다. 도체구를 가는 도선으로 연결하면 전하가 이동해 두 구의 전위가 같아지는데, 이것이 정전기 평형 상태다. 전위가 같아지려면 전하는 정전용량 비, 즉 반지름 비로 분배된다. 따라서 각 구가 얻는 전하는 전체 전하에 자기 반지름의 비율을 곱한 값이 된다.
연결 과정에서 전체 전하량은 보존된다. 예를 들어 +4[μC]와 -2[μC]를 가진 두 구을 연결하면 전체 전하는 +2[μC]로 그대로이며, 반지름이 1:2라면 전하는 1:2로 나뉘어 각각 +2/3[μC], +4/3[μC]가 된다. 가장 흔한 실수는 전하를 절반씩 나누는 것이므로, 같아지는 것은 전위이지 전하량이 아니라는 점을 구분해야 한다.
이미 전위가 주어진 경우도 같은 원리로 푼다. 연결된 도체들은 같은 전위를 가지므로, 각 도체가 가진 전하량을 합친 값을 정전용량 합으로 나누면 공통 전위가 된다. 정전용량은 반지름에 비례하므로, 공통 전위는 반지름으로 가중평균한 값이 된다.
전하 분배 후 두 구을 떨어뜨려 놓으면 점전하로 취급해 쿨롱의 법칙을 적용한다. 정전기력의 크기는 F = kQ₁Q₂/r² 이며, 거리는 중심 간 거리를 쓴다. 에너지 관점도 중요하다. 전하가 분배되면 총 전계 에너지는 전하 제곱에 비례하므로 줄어들고, 그 차이는 열 등으로 손실된다.
반지름 1[cm]인 구 A에 +4[μC], 반지름 2[cm]인 구 B에 -2[μC]가 대전되어 있다. 도선으로 연결하면 전하 보존에 의해 총전하는 +2[μC]이고, 반지름 비 1:2로 분배되어 A는 +2/3[μC], B는 +4/3[μC]가 된다. 이후 중심 간 거리 10[cm]로 배치하면 쿨롱력은 F = (9×10⁹) × (2/3×10⁻⁶) × (4/3×10⁻⁶) ÷ (0.1)² = 0.8[N] 이다.
전위가 주어진 문제는 가중평균으로 푼다. 반지름이 각각 2cm와 4cm이고 전위가 5V와 10V인 두 구을 접속하면 공통 전위는 (5×2 + 10×4) ÷ (2 + 4) = 50/6[V] 가 된다. 접촉해 전하가 나뉘면 전하가 절반씩 나뉜다고 보거나, 공통 전위를 전위 값들의 단순 평균으로 쓰면 틀린다.
반지름이 1[cm]인 도체구 A와 반지름이 2[cm]인 도체구 B가 진공 중에서 매우 멀리 떨어져 있으며, 초기에 각각 +4[μC]와 -2[μC]의 전기량을 대고 있다. 이 두 도체구를 얇은 도선으로 연결하여 전기량이 이동한 후(정전기 평형 상태), 도선을 제거하고 두 도체구의 중심 간 거리를 10[cm]가 되도록 진공 중에 배치하였다. 이때 두 도체구 사이에 작용하는 정전기력(쿨롱력)의 크기는 몇 [N]인가? (단, 쿨롱 상수 k = 9×10^9 [N·m²/C²]이며, 두 도체구는 점전하로 취급할 수 있다.)
정답 ① · 두 도체구를 접촉시키면 전체 전기량(+4 - 2 = +2[μC])이 보존되면서 두 도체구의 전위가 같아지도록 전기량이 분배됩니다. 도체의 정전용량은 반지름에 비례하므로, 전기량 분배 비율은 반지름의 비인 1:2가 됩니다.
도체구 연결 시 전하는 반지름 비로 분배되고, 쿨롱력은 F=kq₁q₂/r²로 구한다.
대전된 도체구 A를 반지름이 2배가 되는 대전되어 있지 않는 도체구 B에 접속하면 도체구 A는 처음 갖고 있던 전계 에너지의 얼마가 손실되겠는가?
정답 ② · 문제는 반지름이 두 배인 무전하 구에 접속했을 때 처음 전하가 가진 전기적 에너지 손실 비율을 묻고 있다. 구의 전기적 에너지는 U=kQ^2/(2R)이고, 접속 후 두 구는 같은 전위가 되어 전하 분배는 반지름에 비례한다.
공기 중에서 5V, 10V로 대전된 반지름 2cm, 4cm의 2개의 구를 가는 철사로 접속했을 때 공통 전위는 몇 [V]인가?
정답 ③ · 두 구를 가는 철사로 접속하면 전위가 같아지고 전체 전하 보존 법칙을 사용해 최종 공통전위를 구한다. 한 구의 정전용량은 반지름에 비례하므로 최종 전위는 Vf = (R1V1 + R2V2)/(R1+R2)이다.
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