개념 한 쪽
코일과 콘덴서가 섞인 회로에 전압을 갑자기 가하면 전류와 전압이 곧바로 정상값에 이르지 않고 지수 곡선을 그리며 다가간다. 이 과정을 과도현상이라 하고, 그 속도를 정하는 값이 시정수다. 소자를 s영역으로 옮기면 코일은 sL, 콘덴서는 1/(sC)로 바뀐다.
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출제기준 단원 「미분요소」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 임계진동 저항 산정 | 1 | RLC 직렬회로가 임계진동이 되는 저항값 계산 |
| 자기코일 시정수 계산 | 1 | 권수·자속·전류로 인덕턴스를 구해 시정수 산출 |
| 시정수 정의 적용 | 1 | 권수와 저항이 주어진 코일 회로의 시정수 산출 |
라플라스 변환으로 회로를 s영역에 옮기면 시간 영역의 미분과 적분이 s를 곱하거나 s로 나누는 일이 된다. 콘덴서의 전압·전류 관계는 전압이 전류를 적분한 값이므로, s영역에서 콘덴서의 임피던스는 1/(sC)로 정해진다. 전류 파형이 어떻든 소자 자체의 값은 바뀌지 않는다. 코일은 반대로 sL이 된다.
RL 직렬회로에 직류전압을 가하면 전류는 i = I(1−e^(−t/τ))를 따라 서서히 증가한다. τ는 시정수이고 τ = L/R이다. 시간이 흐르면 e^(−t/τ)가 0에 가까워져 전류가 정상값 I에 수렴한다. 도달률은 시정수의 배수마다 정해진다. 1τ에서 약 63.2%, 2τ에서 약 86.5%, 3τ에서 약 95%, 4τ에서 약 98.2%, 5τ에서 약 99.3%이다. 70% 도달은 e^(−t/τ) = 0.3에서 t ≈ 1.2τ로 구한다.
RC 직렬회로도 같은 지수 꼴을 따른다. 시정수만 τ = RC로 바뀐다. 시정수가 크면 충전과 방전에 시간이 오래 걸리므로 과도 전류도 천천히 사라진다. 시정수가 작으면 응답이 빨라진다. 커패시터를 충전한 뒤 저항으로 방전하면 전압이 V₀·e^(−t/RC)로 떨어지고, 남은 전압 비율에 자연로그를 취해 정전용량을 역산한다.
코일의 인덕턴스는 권수·자속·전류로 구한다. L = NΦ/I이고, 여기에 저항을 나누면 시정수가 나온다. NΦ/I로 L을 먼저 구하고 ÷R 하는 두 단계 순서가 정해져 있다.
RLC 직렬회로에서는 감쇠의 정도에 따라 진동 여부가 갈린다. 임계진동이 되는 경계 조건은 R = 2√(L/C)이다. 이보다 저항이 작으면 진동하고, 크면 진동 없이 감쇠한다. 코일과 콘덴서만 있는 무손실 LC 직렬회로에 직류를 갑자기 인가하면 에너지가 두 소자 사이를 오가며 진동하고, 콘덴서 전압은 0과 2E 사이를 오간다.
시정수 문제는 NΦ/I로 인덕턴스를 구한 뒤 저항으로 나누는 두 단계를 지켜야 한다. 권수를 빠뜨리거나 저항을 곱하면 보기 값이 나온다. 도달률 문제는 시정수 배수별 백분율을 뒤섞어 함정을 만든다. 2τ에 63%를, 5τ에 95%를 붙이는 식이다.
임계진동 문제는 √(L/C)까지만 계산한 값을 함정으로 둔다. 앞의 2를 곱해야 임계진동 저항이 된다. LC 직렬회로에 직류를 인가할 때 콘덴서 최대 전압을 E로 두는 선지도 함정이고, 정답은 2E이다. RC 방전에서 정전용량을 구할 때 역수 관계를 뒤집은 값도 오답으로 배치된다.
R-L-C 직렬회로에서 L=8×10⁻³[H], C=2×10⁻⁷[F]이다. 임계진동이 되기 위한 R 값은?
정답 ④ · 문제는 직렬 R-L-C 회로가 임계감쇠(임계진동) 상태가 되기 위한 저항값을 구하는 것이다. 임계감쇠 조건은 R = 2·√(L/C) 이므로 L/C = (8×10⁻³)/(2×10⁻⁷) = 4×10⁴, √(L/C) = 200이고 R = 2×200 = 400[Ω]가 된다.
임계진동(임계감쇠) 조건은 R=2√(L/C)이므로 2×200=400Ω이다.
코일의 권수 N＝1000, 저항 R＝20[Ω]이다. 전류 I＝10[A]이 흐를 때, 자속 ø＝3×10⁻²[Wb]이다. 이 회로의 시정수[s]는 얼마인가?
정답 ① · RL 회로의 시정수 τ는 인덕턴스 L을 저항 R으로 나눈 값(L/R)입니다. 주어진 값 L=0.045H, R=20옴을 대입하면 τ = 0.045 / 20 = 0.0025초입니다.
시정수 τ=L/R이고, L=NΦ/I=1000×0.03/10=3H이므로 τ=3/20=0.15s.
권수 N = 2000회, 저항 R = 10[Ω]인 어떤 자계코일에 전류 I = 10[A]를 흘렸을 때 자속이 6×10⁻²이다. 이회로의 시정수는?
정답 ② · 문제는 코일의 권수, 저항, 전류, 자속이 주어질 때 회로의 시정수를 구하는 문제이다. 인덕턴스는 L = NΦ / I 이므로 L = 2000 × 6×10⁻² / 10 = 12 H이고 시정수 τ = L / R = 12 / 10 = 1.2 s가 된다.
시정수 τ=L/R이고 L=NΦ/I=12[H]이므로 τ=12/10=1.2[s]이다.
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