개념 한 쪽
전기공사산업기사 초기값 — 라플라스 기본정리와 파형 대칭
라플라스 변환의 기본정리는 시간영역의 미분·적분·시간축 변화를 s영역의 식으로 옮기는 규칙이다. 이 정리들을 조합하면 사인·코사인의 변환을 확장할 수 있고, 파형의 대칭성은 푸리에 급수에서 남는 항을 결정한다.
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뜻
라플라스 변환에서 유사정리는 시간을 a배로 늘리거나 줄였을 때 변환식이 어떻게 바뀌는지를 다룬다. 시간함수 f(at)의 변환은 원래 변환 F(s)를 s/a로 치환하고 1/a을 곱한 꼴이 된다. 이 정리를 기본 변환 하나에 적용하면 각주파수 계수가 붙은 변환식을 얻는다.
미분정리는 시간영역의 미분을 s영역에서 s를 곱하는 연산으로 바꾼다. 초기값 항이 함께 붙지만 정현파처럼 초기값이 0인 경우에는 s를 곱하는 것만으로 정리된다. 사인을 미분하면 코사인이 되므로, 사인의 변환에 미분정리를 적용해 코사인의 변환을 얻는다.
기본 변환 ℒ[sin t] = 1/(s²+1)에 유사정리를 적용하면 ℒ[sin at] = a/(s²+a²)가 되고, 코사인은 사인의 미분으로 보아 ℒ[cos ωt] = s/(s²+ω²)가 된다. 분모를 (s+a)나 (s²−a²) 같은 인수꼴로 쓰는 것은 정현파 변환의 꼴이 아니다.
과도현상에서는 회로의 감쇠 정도를 임계진동 조건으로 나눈다. RLC 직렬회로에서 진동과 비진동의 경계가 임계진동이고, 이때의 저항은 L과 C의 비에 루트를 씌운 값의 두 배가 된다.
파형의 대칭성은 푸리에 급수에서 살아남는 항을 정한다. 반파대칭이면 직류 성분과 우수 고조파가 사라지고 기수 고조파만 남으며, 정현대칭이면 코사인 항이 모두 0이 되어 사인 항만 남는다. 두 대칭을 함께 만족하면 사인 항의 기수 차수만 존재한다.
예제
기본 변환 ℒ[sin t] = 1/(s²+1)에 유사정리를 적용하면 ℒ[sin at] = (1/a)·1/((s/a)²+1) = a/(s²+a²)가 된다. 코사인은 cos ωt = (1/ω)(d/dt)(sin ωt)로 두고 미분정리를 쓰면 ℒ[cos ωt] = (1/ω)·s·ω/(s²+ω²) = s/(s²+ω²)가 된다.
RLC 직렬회로에서 임계진동 조건은 R = 2√(L/C)이다. 인덕턴스가 8×10⁻³[H]이고 커패시턴스가 2×10⁻⁷[F]이면 L/C = 4×10⁴이고 √(4×10⁴) = 200이므로 R = 2×200 = 400[Ω]이 된다. 루트 값 200만 취하면 앞의 2를 빠뜨린 값이 된다.
자주 묻는 물음
- 유사정리로 sin at의 라플라스 변환을 어떻게 구하나?
- 기본 변환 ℒ[sin t] = 1/(s²+1)에서 시간을 a배로 바꾸면 s를 s/a로 치환하고 1/a을 곱한다. 그 결과 a/(s²+a²)가 된다.
- cos ωt의 변환은 어떤 정리로 얻나?
- 코사인을 사인의 미분으로 보고 미분정리를 적용한다. 초기값이 0이므로 s를 곱하는 연산만 남아 s/(s²+ω²)가 된다.
- 임계진동이 되는 저항 조건은 무엇인가?
- RLC 직렬회로에서 진동과 비진동의 경계가 임계진동이고, 이때 R = 2√(L/C)가 된다. 루트 값에 2를 반드시 곱한다.
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