개념 한 쪽
전기공사산업기사 단위 계단함수 — 시간 지연과 라플라스 변환
단위 계단함수 u(t)는 t=0에서 값이 0에서 1로 뛰는 함수이고, 라플라스 변환은 1/s로 나타낸다. u(t-a)는 이 파형을 시간축에서 a만큼 오른쪽으로 지연시킨 함수이다. 라플라스 변환의 시간 지연 정리를 적용하면 u(t-a)의 변환은 e^-as/s가 된다.
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뜻
단위 계단함수 u(t)는 t=0을 경계로 값이 0에서 1로 바뀌는 함수이다. 이 함수의 라플라스 변환은 1/s로 정리한다. 계단 입력은 일정한 크기의 입력이 갑자기 인가되는 상황을 표현한다.
u(t-a)는 u(t)의 파형을 시간축에서 a만큼 오른쪽으로 민 함수이다. 즉 t=a인 순간부터 값이 1로 바뀌는 지연된 계단함수이다. 지연의 크기는 a로 표시하고, a가 커질수록 계단이 시작되는 시점이 늦어진다.
라플라스 변환의 시간 지연 정리는 지연된 함수의 변환을 원래 함수의 변환과 지수 인자로 연결한다. f(t)가 a만큼 지연되면 그 변환은 원래 변환 F(s)에 e^-as를 곱한 꼴이 된다. 이 정리를 식으로 나타내면 L[f(t-a)] = e^-as·F(s)이다.
u(t)의 변환은 1/s이므로 시간 지연 정리를 그대로 적용한다. L[u(t-a)] = e^-as × 1/s가 되어 e^-as/s로 정리한다. 따라서 u(t-a)의 변환을 묻는 문제는 1/s에 지연 인자 e^-as를 곱하는 절차로 푼다.
지수 부호가 +as인 형태는 지연의 방향을 반대로 본 오답으로 판단한다. e^-as/s²는 계단함수가 아니라 한 번 적분된 램프 함수의 변환 형태이므로 계단함수의 지연 변환과 구분한다.
예제
u(t-a)의 라플라스 변환을 묻는 문제에서는 먼저 u(t)의 변환이 1/s임을 확인한다. 이어서 a만큼 지연되었다는 조건에 시간 지연 정리를 적용해 e^-as를 곱한다. 그 결과 e^-as/s를 정답으로 고른다. 지수가 +as인 보기는 지연 방향이 반대이므로 소거하고, e^-as/s²는 램프 함수의 변환 형태이므로 계단함수 문제에서 소거한다.
자주 묻는 물음
- 단위 계단함수 u(t)의 라플라스 변환은 무엇인가?
- u(t)의 라플라스 변환은 1/s로 정리한다.
- u(t-a)는 u(t)와 어떤 관계인가?
- u(t-a)는 u(t)를 시간축에서 a만큼 오른쪽으로 지연시킨 함수로 본다.
- u(t-a)의 변환에서 e^-as는 어디에서 생기는가?
- 라플라스 변환의 시간 지연 정리에서 지연된 함수에 e^-as를 곱하므로 e^-as가 생긴다고 본다.
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