개념 한 쪽
전기공사산업기사 역라플라스 변환 — 정상상태 해석과 소비전력
라플라스 영역에서 회로를 풀면 시간 영역의 응답을 다시 읽어야 한다. 직류 정상상태는 s에 0을 넣어 구하고, 교류 정상상태는 s에 jω를 넣어 구한다. 저항과 리액턴스가 섞인 회로에서는 실제로 전력을 소비하는 소자가 따로 있다.
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뜻
역라플라스 변환은 s 영역의 함수를 시간 영역의 응답으로 되돌리는 과정이다. 회로 문제에서는 끝까지 변환식을 전개하기보다 정상상태 값만 뽑아내는 경우가 많다. 직류전류원을 오래 가하면 과도현상이 사라지고 정상상태에 도달하므로, 임피던스 함수에 s = 0을 대입하는 것과 같아진다. sL 항은 0이 되고 1/(sC) 항은 무한대가 된다.
정현파 정상상태에서는 s에 jω를 대입한다. 이렇게 하면 라플라스 영역의 계산이 교류 페이저 계산으로 이어진다. 직류는 0, 교류는 jω라는 두 갈래로 정리된다.
저항과 유도리액턴스가 직렬인 회로에서 실제 전력을 소비하는 것은 저항뿐이다. 코일의 리액턴스는 전력을 왕복시킬 뿐 축내지 않는다. 그래서 소비전력은 저항에 걸린 몫으로만 계산한다. 임피던스 크기로 전류를 구한 뒤 저항에 대입하는 순서를 따른다.
복소 전압을 복소 전류로 나누면 임피던스가 된다. 분모의 켤레복소수를 곱해 분모를 실수로 만들면 실수부가 저항, 허수부가 유도리액턴스로 읽힌다. 역라플라스 변환의 정상상태 해석도 이 복소 계산과 같은 뿌리를 둔다.
예제
직류전류원 15A를 임피던스 함수에 가하는 문제에서는 s = 0을 대입해 Z(0)을 구하고 전류를 곱한다. Z(0)이 20Ω이면 단자전압은 300V가 된다. s항을 살려 Z(0)을 다르게 잡은 값이 함정이 된다.
RL직렬회로에서 R=6Ω, XL=8Ω이면 임피던스 크기는 10Ω이고 실효전압 200V로 전류 20A를 얻는다. 소비전력은 저항에만 걸어 2.4kW가 된다. XL을 전력 계산에 끌어들이면 어긋난다.
복소 전압 E=14+j38, 전류 I=6+j2이면 켤레복소수를 곱해 Z=4+j5를 얻고, 저항 4Ω과 유도리액턴스 5Ω을 읽는다.
자주 묻는 물음
- 직류 정상상태에서 임피던스 함수는 어떻게 다루나요?
- 임피던스 함수에 s = 0을 대입한다. sL 항은 0이 되고 1/(sC) 항은 무한대가 되어 정상상태 값만 남는다.
- RL직렬회로의 소비전력은 어디에 걸린 몫으로 구하나요?
- 저항에만 건다. 유도리액턴스는 전력을 소비하지 않으므로 임피던스 크기로 전류를 구한 뒤 저항에 대입해 계산한다.
- 복소 전압과 복소 전류로 저항과 유도리액턴스를 어떻게 가르나요?
- 복소 전압을 복소 전류로 나누어 임피던스를 구한다. 분모의 켤레복소수를 곱해 실수화하면 실수부가 저항, 허수부가 유도리액턴스가 된다.
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