개념 한 쪽
전기공사산업기사 복수주파수 — 라플라스 정상상태와 위상차 합성
여러 주파수의 전원이 섞이거나 위상이 다른 전류가 더해질 때는 각 성분을 따로 정리해 합성한다. 라플라스 영역에서는 직류와 정현파를 대입 위치로 구분하고, 위상차가 있는 교류는 벡터합으로 크기를 구한다. 대칭 성분과 고조파 차수에 따라 남는 항도 달라진다.
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뜻
복수주파수 문제는 크게 두 갈래로 나뉜다. 하나는 라플라스 변환으로 회로를 푸는 것이고, 다른 하나는 위상이 다른 정현파 여러 개를 하나의 실효값으로 합성하는 것이다. 두 갈래 모두 성분을 그대로 더하지 않고 조건에 맞게 처리하는 것이 핵심이다.
라플라스 영역에서 직류전류원을 가하면 시간이 지난 뒤의 정상상태는 임피던스 함수에 s = 0을 대입해 구한다. s가 붙은 항은 사라지고 남은 상수만으로 단자전압을 계산한다. 반대로 정현파 정상상태라면 s에 jω를 대입한다. 직류는 0, 교류는 jω라는 두 단어로 유형이 갈린다.
RLC 직렬회로의 임계진동은 진동과 비진동의 경계가 되는 저항값으로 정해진다. 이 값은 인덕턴스와 커패시턴스의 비에 루트를 씌운 뒤 2를 곱해 구한다. 루트만 계산하고 2를 빠뜨리면 절반 크기의 오답에 빠진다.
위상차가 있는 두 전류를 합성할 때는 먼저 최대값을 실효값으로 바꾼다. 위상차가 90°이면 크기를 그대로 더할 수 없고 직각삼각형의 빗변으로 합성한다. 30과 40이 보이면 3:4:5 비로 50이 되는 구조다.
무효전력은 코일과 콘덴서가 전원과 주고받는 전력이다. 유도리액턴스와 용량리액턴스는 서로 상쇄되므로 차이인 순리액턴스를 기준으로 계산한다. 상쇄 전의 값을 그대로 넣으면 값이 커진 오답이 나온다.
대칭 성분과 고조파에서도 차수가 남는 항을 결정한다. 불평형 Y 부하의 영상 임피던스는 세 상 임피던스의 평균이고, 고조파는 차수를 3으로 나눈 나머지에 따라 영상·정상·역상으로 갈린다. 반파대칭과 정현대칭이 겹치면 직류와 우수 고조파, 코사인 항이 사라지고 사인의 기수항만 남는다.
예제
복수주파수 문제는 대입 위치를 뒤바꾸는 함정이 많다. 직류전류원인데 s에 jω를 넣거나, 정현파인데 s에 0을 넣으면 틀린다. 임계진동 저항에서 2를 빠뜨려 루트값만 고르는 선지도 단골이다. 위상차 90°인 두 전류를 산술적으로 더해 70으로 만드는 보기, 상쇄 전의 유도리액턴스로 무효전력을 계산해 값을 키우는 보기도 경계해야 한다. 고조파 차수에서 3n과 3n+1의 성질을 맞바꾸거나, 반파대칭에서 우수항이 남는다고 하는 설명도 어긋난다.
자주 묻는 물음
- 라플라스 영역에서 직류 정상상태는 어떻게 구하나요?
- 임피던스 함수에 s = 0을 대입한다. s가 붙은 항이 사라지고 남은 상수로 단자전압을 계산한다. 정현파 정상상태라면 s에 jω를 대입한다.
- 위상차가 90°인 두 전류의 합성 실효값은 어떻게 구하나요?
- 각 최대값을 √2로 나누어 실효값으로 바꾼 뒤, 위상차가 90°이므로 두 실효값의 제곱합에 루트를 씌워 직각삼각형의 빗변으로 구한다.
- 반파대칭과 정현대칭을 함께 만족하는 왜형파의 푸리에 급수에는 어떤 항이 남나요?
- 직류 성분과 우수 고조파, 코사인 항이 모두 사라지고 사인 항의 기수 차수만 남는다.
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