개념 한 쪽
전기공사산업기사 단위 충격함수 — 지연정리와 지수함수 변환
라플라스 변환에서 지수함수와 시간 지연은 분모와 지수에 그대로 드러난다. 지수함수의 변환 공식 하나로 지수 부호를 읽고, 지연 정리 하나로 e의 지수를 붙인다. 단위 계단 함수의 지연은 이 두 규칙이 만나는 자리다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
뜻
지수함수의 라플라스 변환은 분모가 s에서 지수를 뺀 꼴로 정해진다. L{e^(at)}=1/(s-a)이므로 e^(2t)는 1/(s-2), e^(-3t)는 1/(s+3)이 된다. 지수의 문자와 부호가 분모 s에서 그대로 빠지는 형태로 들어간다.
이 공식에 a=jω를 넣으면 e^(jωt)의 변환은 1/(s-jω)가 된다. 반대로 1/(s+jω)는 e^(-jωt)의 변환이며, 분모가 s²+ω² 꼴이면 사인·코사인 변환의 형태가 된다.
역방향도 같은 대응을 따른다. 분모가 (s+α)이면 원함수는 e^(-αt)이고, 앞에 상수 A가 곱해져 있으면 그 상수는 역변환 뒤에도 그대로 붙는다. 그래서 A/(s+α)의 역변환은 Ae^(-αt)가 된다. 분모를 (s-α)로 잡으면 부호가 뒤집힌 e^(αt)가 나오므로 대응을 거꾸로 읽지 않아야 한다.
시간 지연은 변환식에 e^-as를 곱하는 것으로 나타난다. f(t)가 a만큼 지연되면 L{f(t-a)}=e^-as·F(s)가 되며, 단위 계단 함수 u(t)의 변환이 1/s이므로 u(t-a)의 변환은 e^-as/s가 된다. 지수가 +as인 꼴은 성립하지 않고, e^-as/s²는 계단이 아니라 한 번 적분된 램프 함수의 변환 형태다.
정리하면 지연은 e^-as, 미분은 s, 적분은 1/s를 곱하는 세 가지 인자로 갈린다. 이 인자만 구분하면 지수함수와 계단 함수가 섞인 변환 문제를 한 줄 대입으로 정리할 수 있다.
예제
단위 계단 함수 u(t)의 변환 1/s에 지연 인자 e^-as를 곱하면 u(t-a)의 변환 e^-as/s가 나온다. 지수를 +as로 쓰거나 분모를 s²으로 바꾼 선지는 지연 정리와 적분 정리를 뒤섞은 함정이다.
역변환에서는 분모 (s+α)에 상수 A가 곱해진 F(s)=A/(s+α)를 두고 Ae^(-αt)를 고른다. Ae^(αt)는 분모가 (s-α)일 때의 답이므로 분모 부호를 반대로 본 선지가 된다.
자주 묻는 물음
- e^(jωt)의 라플라스 변환은 무엇인가?
- 지수함수 변환 L{e^(at)}=1/(s-a)에 a=jω를 넣어 1/(s-jω)가 된다. 1/(s+jω)는 e^(-jωt)의 변환이다.
- A/(s+α)의 라플라스 역변환은 무엇인가?
- L{e^(-αt)}=1/(s+α)이므로 상수 A가 그대로 붙어 Ae^(-αt)가 된다. 분모가 (s-α)이면 Ae^(αt)가 된다.
- u(t-a)의 라플라스 변환은 무엇인가?
- 시간 지연 정리에 따라 u(t)의 변환 1/s에 e^-as를 곱해 e^-as/s가 된다. e^-as/s²는 램프 함수의 변환 형태다.
전기공사산업기사 풀이 세트에서 이 개념의 문제 10개를 바로 풀어 보세요.