전기공사산업기사 라플라스 변환 — s대입과 변환정리

라플라스 영역에서 회로를 다룰 때 가장 기본이 되는 원리는 s 값 대입이다. 직류전류원을 걸면 처음에는 과도현상이 있지만 시간이 지나 정상상태에 도달하며, 라플라스 영역에서 이는 임피던스 함수 Z(s)에 s = 0을 대입하는 것과 같다. sL(코일)은 0이 되고 1/(sC)(콘덴서)는 무한대가 되어 단선으로 본다. 정현파 전원이라면 s = jω를 대입해 교류 정상상태를 구한다.

기본 변환쌍과 정리를 조합하면 복잡한 함수의 변환도 구할 수 있다. 지수함수는 L{e^(at)} = 1/(s − a)이므로 e^(jωt)의 변환은 1/(s − jω)가 된다. 유사정리 L[f(at)] = (1/a)F(s/a)를 L[sin t] = 1/(s² + 1)에 적용하면 L[sin at] = a/(s² + a²)가 나오고, cos ωt = (1/ω)(d/dt)(sin ωt)에 미분정리 L[f′] = sF(s) − f(0)를 쓰면 L[cos ωt] = s/(s² + ω²)가 된다. 단위 계단 함수 u(t − a)는 u(t)를 a만큼 지연시킨 것이므로 시간 지연 정리 £[f(t − a)] = e^(−as)·F(s)에 £[u(t)] = 1/s를 대입해 £[u(t − a)] = e^(−as)/s를 얻는다. 역변환은 공식을 거꾸로 적용하므로 F(s) = A/(s + α)의 역변환은 Ae^(−αt)다.

교류 회로 계산에서도 같은 틀이 쓰인다. 저항과 콘덴서를 나란히 연결해 만든 회로에 100[V]의 직류 전압을 걸면 5[A]가 흐르는데, 축전기는 직류에서 충전이 끝나면 전류를 통하지 않으므로 이 5[A]가 전부 저항 전류다. R = 100/5 = 20[Ω]이 나온다. 같은 회로에 교류 300[V]를 가하면 저항 전류와 축전기 전류가 90° 위상 차로 흐르므로, 저항 전류 IR = 300/20 = 15[A], 합성 전류 25[A]에서 IC = √(25² − 15²) = 20[A], 콘덴서 리액턴스는 XC = 300/20 = 15[Ω]이 된다.

저항 30[Ω]과 용량성 리액턴스 40[Ω]을 나란히 연결한 회로에 정현파 120[V] 전압을 걸 때도 분지 전류의 직교 벡터합으로 전전류를 구한다. IR = 120/30 = 4[A], IC = 120/40 = 3[A]이고 I = √(4² + 3²) = 5[A]다. 병렬은 전류 벡터합, 직렬은 전압 벡터합으로 대칭으로 외우면 혼동하지 않는다.

대칭 3상 회로에서는 결선 방식에 따라 전류 비가 정해진다. 같은 전원(선간전압 V)에 R 3개를 연결할 때 델타결선은 각 저항에 선간전압이 그대로 걸려 선전류가 √3V/R, Y결선은 각 저항에 V/√3가 걸리고 선전류 = 위상전류이므로 V/(√3R)이다. 따라서 I△/IY = 3이고, 전류뿐 아니라 소비 전력도 델타가 Y의 3배로 일치한다.