개념 한 쪽
교류 회로에서는 저항과 리액턴스가 섞여 전류와 전압의 위상이 어긋난다. 병렬 가지의 전류는 그냥 더하지 않고 위상차를 반영한 벡터합으로 구한다. 위상차가 90°이거나 60°일 때 합성 크기를 어떻게 잡는지가 이 개념의 핵심이다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
출제기준 단원 「공진 회로」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 병렬 분지 전류 벡터합 | 1 | 저항과 용량성 리액턴스 병렬에서 총전류 구하기 |
| 위상차 있는 정현파 합성 | 1 | 90° 위상차 두 전류의 합성 실효값 계산 |
| 극형 임피던스 변환 | 1 | 전압과 전류의 극형 나눗셈으로 임피던스 구하기 |
교류 회로에서 저항 전류와 리액턴스 전류는 위상이 서로 어긋난다. 저항과 용량성 리액턴스가 병렬이면 각 분지 전류를 구한 뒤 90° 벡터합으로 합친다. 전압은 병렬 소자에 똑같이 걸리므로 분지 전류는 전압을 각 소자의 값으로 나눠 구한다.
위상차가 90°인 두 전류나 두 전압을 합성할 때는 피타고라스 정리를 쓴다. 최대값에 √2가 붙어 있으면 √2를 떼어 실효값으로 바꾼 뒤 합성한다. 위상차가 60°처럼 90°가 아니면 두 크기의 제곱합에 코사인 항을 더한 벡터합 공식을 쓴다.
임피던스는 전압을 전류로 나눈 값이다. 극형식끼리 나눌 때는 크기는 나누고 위상각은 뺀다. 이렇게 얻은 극형식을 직교형으로 바꾸면 실수부가 저항, 허수부가 리액턴스가 된다. 복소 전압을 복소 전류로 나눌 때는 분모의 켤레복소수를 곱해 분모를 실수로 만든다.
전류가 전압보다 90° 앞서면 용량성 소자이고, 90° 뒤지면 유도성 소자이다. 코일에 교류를 가하면 저항과 유도 성분이 직렬로 섞인 회로로 보고, 임피던스 삼각형에서 저항은 코사인, 리액턴스는 사인으로 읽는다.
병렬 회로의 임피던스 궤적은 어드미턴스부터 구한다. 저항과 콘덴서가 병렬이면 어드미턴스의 실수부는 고정이고 허수부만 주파수에 따라 변하므로 반직선이 되고, 그 역수인 임피던스는 제4상한의 반원이 된다.
병렬 가지 합성 문제는 전류를 산술적으로 더하게 만드는 함정이 많다. 저항 30[Ω], 용량성 리액턴스 40[Ω]에 120[V]를 가하면 분지 전류가 4[A]와 3[A]이고 90° 벡터합으로 총전류는 5[A]가 된다. 실효값 30[A]와 40[A]의 위상차가 90°인 경우도 √(30²+40²)=50[A]로 같은 3:4:5 관계가 나온다.
위상차가 60°이면 제곱합에 2·(두 크기 곱)·cos60°를 더해야 한다. 최대값 30√2와 40√2를 대입해 √7400을 얻고, 다시 √2로 나눠 실효값 10√37[V]로 마무리한다. 위상차를 무시하고 30+40을 더한 70은 대표적인 오답이다.
임피던스 계산은 극형 나눗셈과 켤레복소수 곱 두 갈래로 나온다. 10∠60°를 5∠30°로 나누면 크기 2, 위상 30°가 되어 √3+j1이 된다. 14+j38을 6+j2로 나눌 때는 분모의 켤레복소수를 곱해 4+j5를 얻고, 실수부 4가 저항, 허수부 5가 유도 리액턴스이다.
소자 판별은 sin과 cos의 위상 관계로 한다. 전류가 cos, 전압이 sin이면 전류가 90° 앞서므로 용량성 소자이다. 코일에 100[V]를 가해 10[A]가 흐르고 위상차가 π/3이면 임피던스는 10[Ω]이고, 저항은 10×cos60°=5[Ω]이 된다.
직류와 교류를 함께 준 문제는 직류에서 저항만 남는 성질을 먼저 쓴다. 직류 100[V]에서 5[A]가 흐르면 저항은 20[Ω]이고, 교류 300[V]에서 25[A]가 흐르면 임피던스 크기는 12[Ω]이다. 병렬 어드미턴스를 제곱합으로 풀면 콘덴서 리액턴스는 15[Ω]이 된다. 정전용량만 있는 회로는 I=2πfCV로 접근해 C=0.06/(2π×60×100)≈1.59[μF]를 얻는다.
저항 30[Ω], 용량성 리액턴스 40[Ω]의 병렬회로에 120[V]의 정현파 교번전압을 가할 때 전전류 [A]는?
정답 ③ · 문제는 병렬으로 연결된 저항과 용량성 리액턴스에 전압을 가했을 때 전체 전류를 구하는 문제이다. 각 분지전류는 IR=120/30=4 A, IC=120/40=3 A이고 이들은 위상차 90도이므로 전체 전류는 벡터합 √(4²+3²)=5 A가 된다.
R·X 병렬회로 총전류는 분지전류의 벡터합: I=√(4²+3²)=5[A].
전류의 크기가 i1=30√2 sinωt[A], i2=40√2 sin(ωt+π/2)일 때 i1+i2 의 실효값은 몇[A] 인가?
정답 ① · 문제는 두 교류전류의 합의 실효값을 구하는 것이다. 각각의 실효값은 30[A], 40[A]이고 위상차가 90°이므로 합성 실효값은 직각벡터 합으로 I = √(30²+40²) = 50[A]가 된다.
90° 위상차 전류의 합성 실효값은 √(I₁²+I₂²)=√(30²+40²)=50[A]이다.
어떤 회로의 전압 및 전류가 V=10∠60° , I=5∠30° 일때 이 회로의 임피던스 Z[Ω]은?
정답 ① · 교류 회로에서 임피던스 Z는 전압 V를 전류 I로 나눈 값입니다. 주어진 복소수 V=10∠60°, I=5∠30°에 대해 Z = V/I를 계산하면, 크기는 10/5=2이고 위상각은 60°-30°=30°가 됩니다.
임피던스는 Z=V/I: 극형 나눗셈은 크기를 나누고 위상각을 빼라 → 2∠30° = √3+j1.
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