개념 한 쪽
병렬 회로의 페이저 해석은 각 소자에 같은 전압이 걸린다는 점을 이용해 분지 전류를 구하고, 위상차를 반영한 벡터합으로 전체 전류를 구하는 방법이다. 저항 전류와 리액턴스 전류는 위상이 다르므로 단순 산술합으로 처리하지 않는다. 이 글은 분지 전류의 직각 합성과 실효값·최대값 구분을 정리한다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
출제기준 단원 「병렬 회로 의 페이저 해석」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 직류·교류 조건에서 리액턴스 계산 | 1 | 직류로 저항을 구한 뒤 교류 합성전류로 콘덴서 리액턴스를 계산한다 |
| 병렬 분지전류의 직각 합성 | 1 | 저항성 분지전류와 용량성 분지전류를 벡터합해 전체 전류를 구한다 |
| 90° 위상차 전류의 실효값 합성 | 1 | 두 전류를 실효값으로 바꾸고 직각 합성해 합성 실효값을 구한다 |
페이저 해석은 정현파의 크기와 위상을 하나의 복소량으로 다루어 병렬 회로의 전류 관계를 정리한다. 병렬 회로에서는 각 분지에 걸리는 전압이 같으므로 분지 전류를 각각 구한 뒤 위상차를 반영해 합성한다.
저항 분지의 전류는 전압과 동상이고, 용량성 리액턴스 분지의 전류는 저항 전류와 90°의 위상차를 가진다. 따라서 두 분지 전류의 합성은 단순 덧셈이 아니라 직각삼각형의 빗변을 구하는 피타고라스 합으로 계산한다. 저항 30Ω과 용량성 리액턴스 40Ω에 120V를 가하면 저항 전류 4A와 용량성 전류 3A가 되고, 전체 전류는 √(4²+3²)=5A가 된다.
직류에서는 콘덴서가 충전이 끝난 뒤 전류를 통과시키지 않으므로 직류 조건의 전류는 저항 분지 전류로만 해석한다. 직류 100V에서 5A가 흐르면 저항은 20Ω이다. 교류 300V에서 전체 전류가 25A이면 저항 전류는 15A이고, 직각 합성으로 콘덴서 전류 20A를 얻어 리액턴스 15Ω을 구한다.
유도성 리액턴스가 있는 병렬 분지에서는 어드미턴스로 계산할 수 있다. RL 병렬 회로의 어드미턴스는 1/R - j(1/XL)이고, 그 크기는 두 역수 성분의 직각 합이다. 저항 30Ω과 유도성 리액턴스 40Ω의 병렬 회로에서 어드미턴스 크기는 1/24S이며, 전류는 전압의 최대값에 어드미턴스 크기를 곱해 구한다.
두 전류의 위상차가 180°이면 서로 반대 방향이므로 차를 구할 때 크기의 합으로 바뀐다. 위상차가 90°이면 실효값끼리 직각 합성하고, 진폭 30√2인 전류와 진폭 40√2에 위상이 90° 앞선 전류를 합성한 실효값은 √(30²+40²)=50A가 된다. 실효값은 최대값을 √2로 나누어 30A와 40A로 먼저 바꾼 뒤 합성한다.
저항 30Ω과 용량성 리액턴스 40Ω의 병렬 회로에 120V 정현파 전압을 가하는 경우를 본다. 저항 전류는 120÷30=4A이고 용량성 전류는 120÷40=3A이다. 두 전류는 위상이 90° 다르므로 전체 전류는 √(4²+3²)=5A가 된다. 3A나 4A를 전체 전류로 고르면 분지 전류 하나만 본 것이고, 두 전류를 그대로 더해 7A로 처리하면 위상차를 무시한 것이다.
저항과 콘덴서를 함께 병렬 연결한 회로에서 직류 100V를 가하면 5A가 흐르고, 교류 300V를 가하면 25A가 흐르는 경우를 본다. 직류에서는 콘덴서가 전류를 통과시키지 않으므로 저항은 100÷5=20Ω이다. 교류에서 저항 전류는 300÷20=15A이고, 전체 전류 25A와 직각 합성하면 콘덴서 전류는 √(25²−15²)=20A가 된다. 콘덴서 리액턴스는 300÷20=15Ω이다.
저항과 콘덴서를 병렬로 접속한 회로에 직류 100[V]를 가하면 5[A]가 흐르고, 교류 300[V]를 가하면 25[A]가 흐른다. 이때 콘덴서의 리액턴스 [Ω]는?
정답 ④ · 문항은 병렬 R‖C 회로에서 직류와 교류 인가 시의 전류로부터 콘덴서의 리액턴스를 구하는 문제이다. 직류에서 C는 개방이므로 R = 100 V / 5 A = 20 Ω이다.
직류 100V·5A → R=20Ω, 교류 합성전류에서 IC=20A → XC=300/20=15Ω.
전류의 크기가 i1=30√2 sinωt[A], i2=40√2 sin(ωt+π/2)일 때 i1+i2 의 실효값은 몇[A] 인가?
정답 ① · 문제는 두 교류전류의 합의 실효값을 구하는 것이다. 각각의 실효값은 30[A], 40[A]이고 위상차가 90°이므로 합성 실효값은 직각벡터 합으로 I = √(30²+40²) = 50[A]가 된다.
90° 위상차 전류의 합성 실효값은 √(I₁²+I₂²)=√(30²+40²)=50[A]이다.
정전용량 C만의 회로에서 100[V], 60[Hz]의 교류를 가했을 때 60[mA]의 전류가 흐른다면 C 는 몇 [㎌] 인가?
정답 ④ · 문제는 정전용량 단독 회로에 100 V, 60 Hz 교류를 걸었을 때 전류 60 mA가 흐를 때의 정전용량 값을 묻고 있다. 교류에서 정전류 I = 2πf C V 이므로 C = I/(2πfV)로 계산한다: C = 0.06 A / (2π × 60 Hz × 100 V) ≈ 1.59 × 10⁻⁶ F = 1.59 μF.
정전용량은 C = I/(2πfV) = 0.06/(2π×60×100) ≈ 1.59[μF].
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