개념 한 쪽
교류 회로에서 저항·코일·콘덴서는 크기만으로 다룰 수 없다. 전압과 전류가 서로 어긋나는 위상을 함께 따져야 한다. 페이저 해석은 이 위상 관계를 각도와 복소수로 계산하는 방법이다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
출제기준 단원 「수동 소자의 페이저 해석」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 병렬 회로 총전류 산출 | 2 | 분지전류를 벡터합해 합성전류를 가리기 |
| 위상차에 따른 합성 실효값 | 1 | 두 교류의 위상 관계로 합성값을 판별하기 |
| 리액턴스 일치 조건 역산 | 0 | 같은 리액턴스를 갖는 소자 값을 계산하기 |
가장 자주 묻는 것은 병렬 회로 총전류 산출입니다.
수동 소자란 저항(R), 코일(L), 콘덴서(C)를 말한다. 교류에서는 각 소자가 전압과 전류의 위상을 서로 다르게 어긋나게 한다. 저항은 전압과 전류가 동상이고, 코일은 전류보다 전압이 90° 앞서며, 콘덴서는 전압보다 전류가 90° 앞선다. 이 어긋남을 각도로 표시한 것이 페이저 해석이다.
정현파는 sin과 cos 두 꼴로 나타난다. cosωt는 sin(ωt+90°)로 바꿀 수 있으므로 sin파와 cos파의 위상차는 항상 90°이다. 위상차가 180°인 두 전류는 서로 정반대 방향이므로, 실효값의 차를 구할 때 오히려 크기의 합이 된다.
직렬과 병렬의 계산 방식이 갈린다. 직렬 회로에서는 전압을 벡터합으로 더하고, 병렬 회로에서는 각 분지전류를 구해 벡터합으로 합친다. 위상차가 90°이면 피타고라스 정리로 합성값을 구하고, 180°이면 크기를 그대로 더하거나 뺀다.
복소수 옴의 법칙도 그대로 쓴다. 임피던스 Z는 전압 E를 전류 I로 나눈 값이고, 분모가 복소수이면 켤레복소수를 곱해 분모를 실수로 만든다. 그 결과 실수부가 저항 R, 허수부가 리액턴스가 된다.
리액턴스는 주파수에 따라 달라진다. 유도리액턴스 XL은 2πfL이고 용량리액턴스 XC는 1/(2πfC)이다. 두 값이 같아지는 조건이 공진이며, 이때 전압확대율 Q는 특성 임피던스를 저항으로 나눈 값이 된다.
RLC 직렬 공진에서 전압확대율 Q는 (1/R)√(L/C)로 구한다. R＝100Ω, L＝1/π H, C＝100/4π pF이면 C를 10⁻¹²로 환산해 L/C＝4×10¹⁰이 되고 √(L/C)＝2×10⁵이다. 따라서 Q＝2×10⁵/100＝2×10³이다. pF를 F로 바꾸지 않으면 답이 어긋난다.
RL 병렬회로에 v(t)＝220√2 sin377t를 인가하면 어드미턴스 Y＝1/30−j1/40이고 크기는 1/24S이다. 시간함수에는 최대값이 들어 있으므로 전류 최대값은 220√2×(1/24)≈12.96A이다. 실효값 220을 그대로 쓰면 9.17A가 되어 함정에 빠진다.
저항과 콘덴서를 병렬로 접속한 회로에 직류 100[V]를 가하면 5[A]가 흐르고, 교류 300[V]를 가하면 25[A]가 흐른다. 이때 콘덴서의 리액턴스 [Ω]는?
정답 ④ · 문항은 병렬 R‖C 회로에서 직류와 교류 인가 시의 전류로부터 콘덴서의 리액턴스를 구하는 문제이다. 직류에서 C는 개방이므로 R = 100 V / 5 A = 20 Ω이다.
직류 100V·5A → R=20Ω, 교류 합성전류에서 IC=20A → XC=300/20=15Ω.
전류의 크기가 i1=30√2 sinωt[A], i2=40√2 sin(ωt+π/2)일 때 i1+i2 의 실효값은 몇[A] 인가?
정답 ① · 문제는 두 교류전류의 합의 실효값을 구하는 것이다. 각각의 실효값은 30[A], 40[A]이고 위상차가 90°이므로 합성 실효값은 직각벡터 합으로 I = √(30²+40²) = 50[A]가 된다.
90° 위상차 전류의 합성 실효값은 √(I₁²+I₂²)=√(30²+40²)=50[A]이다.
정전용량 C만의 회로에서 100[V], 60[Hz]의 교류를 가했을 때 60[mA]의 전류가 흐른다면 C 는 몇 [㎌] 인가?
정답 ④ · 문제는 정전용량 단독 회로에 100 V, 60 Hz 교류를 걸었을 때 전류 60 mA가 흐를 때의 정전용량 값을 묻고 있다. 교류에서 정전류 I = 2πf C V 이므로 C = I/(2πfV)로 계산한다: C = 0.06 A / (2π × 60 Hz × 100 V) ≈ 1.59 × 10⁻⁶ F = 1.59 μF.
정전용량은 C = I/(2πfV) = 0.06/(2π×60×100) ≈ 1.59[μF].
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