개념 한 쪽
교류 회로에서는 전압과 전류를 크기와 위상각을 가진 페이저로 다룬다. 직렬 회로의 임피던스는 전압 페이저를 전류 페이저로 나누어 구하고, 그 실수부가 저항, 허수부가 리액턴스가 된다. 소자의 종류에 따라 전류가 전압보다 앞서거나 뒤지는 위상차가 생긴다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
출제기준 단원 「직렬 회로의 페이저 해석」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 페이저 나눗셈으로 임피던스 산출 | 1 | 극형식 전압과 전류로 임피던스를 직교좌표형까지 구하기 |
| 복소 전압·전류로 저항과 리액턴스 분리 | 1 | 켤레복소수 나눗셈 후 실수부와 허수부를 소자값으로 읽기 |
| 정현파 위상차로 소자 판별 | 1 | sin 전압과 cos 전류의 90° 어긋남으로 소자 종류 가리기 |
페이저 해석은 정현파 전압과 전류를 크기와 위상각으로 표시해 계산하는 방법이다. 극형식끼리 나눗셈을 할 때는 크기는 나누고 위상각은 뺀다. 전압 V=10∠60°, 전류 I=5∠30°이면 임피던스는 크기 10/5=2, 위상각 60°−30°=30°인 2∠30°가 된다.
직교좌표형으로 바꾸면 실수부는 크기에 cos을, 허수부는 크기에 sin을 곱해 얻는다. 2∠30°는 2cos30°=√3과 2sin30°=1로 되어 √3+j1이 된다. 복소수 나눗셈에서는 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱해 분모를 실수로 만든다. 이렇게 구한 임피던스의 실수부가 저항 R, 허수부가 유도 리액턴스 XL이 된다.
소자별 위상 관계는 정현파와 여현파의 90° 어긋남으로 판정한다. cos 377t는 sin(377t+90°)이므로 전류가 전압보다 90° 앞서면 순용량 소자이고, 전류가 90° 뒤지면 유도성 소자이다. 저항만 있으면 위상차가 0°이다. 저항과 코일이 직렬로 섞이면 지연각은 0°보다 크고 90°보다 작아진다.
코일이 섞인 회로에서 저항은 임피던스에 cos을 곱해 구하고 리액턴스는 sin을 곱해 구한다. 임피던스 삼각형에서 저항이 밑변, 리액턴스가 높이가 되기 때문이다. 콘덴서 단독 회로는 전류 I=2πfCV의 관계로 정전용량을 구한다. 병렬 회로는 어드미턴스로 접근하며, 저항과 콘덴서가 병렬이면 어드미턴스 크기의 제곱이 각 역수의 제곱합이 된다.
위상이 다른 두 정현파를 더할 때는 산술합이 아니라 벡터합을 한다. 함수 형태를 같은 정현파로 맞춰 위상차를 확인한 뒤 최대값 벡터합 공식에 대입하고, 실효값은 다시 √2로 나눈다. 직렬 공진에서 전압확대율 Q는 특성 임피던스를 저항으로 나눈 값이며 (1/R)√(L/C)로 구한다.
페이저 문제는 극형식 나눗셈에서 각도를 더하거나 부호를 뒤집는 함정이 많다. 복소수 나눗셈에서 켤레복소수를 쓰지 않고 분모를 그대로 두거나, 실수부와 허수부를 뒤바꾸는 선지도 함정이다. 위상차를 무시하고 실효값을 그냥 더하게 하는 선지, 저항을 구하는데 sin을 쓰게 하는 선지도 경계해야 한다. 병렬 회로에서 어드미턴스를 스칼라로 단순 합산하게 하거나, 저항과 리액턴스의 자리를 바꾸는 선지도 틀리다.
저항 30[Ω], 용량성 리액턴스 40[Ω]의 병렬회로에 120[V]의 정현파 교번전압을 가할 때 전전류 [A]는?
정답 ③ · 문제는 병렬으로 연결된 저항과 용량성 리액턴스에 전압을 가했을 때 전체 전류를 구하는 문제이다. 각 분지전류는 IR=120/30=4 A, IC=120/40=3 A이고 이들은 위상차 90도이므로 전체 전류는 벡터합 √(4²+3²)=5 A가 된다.
R·X 병렬회로 총전류는 분지전류의 벡터합: I=√(4²+3²)=5[A].
어떤 회로의 전압 및 전류가 V=10∠60° , I=5∠30° 일때 이 회로의 임피던스 Z[Ω]은?
정답 ① · 교류 회로에서 임피던스 Z는 전압 V를 전류 I로 나눈 값입니다. 주어진 복소수 V=10∠60°, I=5∠30°에 대해 Z = V/I를 계산하면, 크기는 10/5=2이고 위상각은 60°-30°=30°가 됩니다.
임피던스는 Z=V/I: 극형 나눗셈은 크기를 나누고 위상각을 빼라 → 2∠30° = √3+j1.
저항과 유도 리엑턴스의 직렬 회로에 E = 14 + j38[V]인 교류 전압을 가하니 I = 6 + j2 [A]의 전류가 흐른다. 이 회로의 저항과 유도 리엑턴스는 얼마인가?
정답 ① · 문항은 직렬 R-L 회로에 걸린 복소전압과 복소전류가 주어졌을 때 저항과 리액턴스를 구하는 문제이다. 회로 임피던스 Z는 E/I로 주어지므로 복소수 나눗셈을 수행하면 Z = (14 + j38)/(6 + j2) = 4 + j5가 된다.
Z=E/I=(14+j38)/(6+j2)=4+j5이므로 실수부 R=4Ω, 허수부 XL=5Ω이다.
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