개념 한 쪽
교류 회로에서 저항과 리액턴스를 하나의 양으로 묶어 나타내는 것이 복소 임피던스다. 복소수 형태로 쓰면 옴의 법칙을 교류 회로에 그대로 적용할 수 있고, 전압과 전류의 크기뿐 아니라 위상차까지 한 번에 구해진다.
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출제기준 단원 「복소 임피던스」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| RL 직렬 위상 판단 | 1 | R과 L 직렬 회로에서 전류 위상이 전압보다 늦는지와 90° 미만임을 가림 |
| RC 병합 리액턴스 계산 | 1 | 직류 데이터로 R을 구하고 교류 전류 직각합성으로 콘덴서 리액턴스를 구함 |
| 병렬 총전류 계산 | 1 | R과 용량성 리액턴스 병렬 회로에서 분지 전류의 벡터합으로 전전류를 구함 |
복소 임피던스는 저항을 실수부, 리액턴스를 허수부로 나타낸 양이다. 직렬 회로에서는 Z = R + jXL 꼴이 되고, 실수부가 저항, 허수부가 유도 리액턴스에 해당한다. 복소수 옴의 법칙 Z = E/I를 쓰면 전압과 전류를 복소수로 대입해 바로 임피던스를 구할 수 있다.
복소수 나눗셈은 분모의 켤레복소수를 분자·분모에 곱해 분모를 실수로 만든 뒤 계산한다. 예를 들어 Z = (E)/(I)에서 분모가 a + jb 꼴이면 (a − jb)를 곱해 분모를 a² + b²로 정리한다. 계산 결과의 실수부가 R, 허수부가 XL이 되므로 자리를 바꿔 쓰지 않도록 주의한다.
직렬 회로와 병렬 회로는 계산 방식이 다르다. 직렬은 임피던스를 그대로 더하고 전압을 벡터합으로 합치지만, 병렬은 각 분지 전류를 구한 뒤 전류를 벡터합으로 합친다. 저항 전류와 리액턴스 전류는 위상이 90° 다르므로 총전류는 √(IR² + IX²) 꼴의 직각합성으로 구한다. RL 병렬처럼 어드미턴스(Y)로 접근하면 Y = 1/R − j(1/XL) 꼴로 정리해 크기를 구하기도 편하다.
위상 관점에서 보면 저항(R)은 전압과 전류의 위상이 같은(동상) 소자다. 유도성 소자(L)에서는 전류가 전압보다 늦고, 용량성 소자(C)에서는 전류가 앞선다. R과 L이 함께 있으면 위상각은 tanθ = XL/R로 결정되고 0° 초과 90° 미만 범위가 된다. R이 하나라도 있으면 위상차가 정확히 90°에 도달하지 못한다.
정현파 시간함수 형태의 전압·전류를 다룰 때는 실효값과 최대값을 구분해야 한다. v(t) = √2·V·sinωt 꼴에서 √2배 값은 최대값이므로, 임피던스를 곱해 시간함수 전류를 구할 때는 최대값을 쓴다. 실효값을 그대로 곱하면 √2배만큼 작은 오답이 된다.
복소수 옴의 법칙 대표 계산 — 교류 전압 E = 14 + j38[V], 전류 I = 6 + j2[A]일 때:
Z = E/I = (14 + j38)/(6 + j2) × (6 − j2)/(6 − j2)
분모 = 6² + 2² = 40, 분자 = (14×6 + 38×2) + j(38×6 − 14×2) = 160 + j200
Z = (160 + j200)/40 = 4 + j5[Ω] → R = 4[Ω], XL = 5[Ω]
RL 병렬 회로 계산 — R = 30[Ω], XL = 40[Ω] 병렬에 v(t) = 220√2·sin377t[V] 인가 시:
Y = 1/R − j(1/XL) = 1/30 − j(1/40), |Y| = √((1/30)² + (1/40)²) = 1/24[S]
시간함수에는 최대값을 쓰므로 Im = 220√2 × (1/24) ≈ 12.96[A]
저항과 콘덴서를 병렬로 접속한 회로에 직류 100[V]를 가하면 5[A]가 흐르고, 교류 300[V]를 가하면 25[A]가 흐른다. 이때 콘덴서의 리액턴스 [Ω]는?
정답 ④ · 문항은 병렬 R‖C 회로에서 직류와 교류 인가 시의 전류로부터 콘덴서의 리액턴스를 구하는 문제이다. 직류에서 C는 개방이므로 R = 100 V / 5 A = 20 Ω이다.
직류 100V·5A → R=20Ω, 교류 합성전류에서 IC=20A → XC=300/20=15Ω.
전류의 크기가 i1=30√2 sinωt[A], i2=40√2 sin(ωt+π/2)일 때 i1+i2 의 실효값은 몇[A] 인가?
정답 ① · 문제는 두 교류전류의 합의 실효값을 구하는 것이다. 각각의 실효값은 30[A], 40[A]이고 위상차가 90°이므로 합성 실효값은 직각벡터 합으로 I = √(30²+40²) = 50[A]가 된다.
90° 위상차 전류의 합성 실효값은 √(I₁²+I₂²)=√(30²+40²)=50[A]이다.
정전용량 C만의 회로에서 100[V], 60[Hz]의 교류를 가했을 때 60[mA]의 전류가 흐른다면 C 는 몇 [㎌] 인가?
정답 ④ · 문제는 정전용량 단독 회로에 100 V, 60 Hz 교류를 걸었을 때 전류 60 mA가 흐를 때의 정전용량 값을 묻고 있다. 교류에서 정전류 I = 2πf C V 이므로 C = I/(2πfV)로 계산한다: C = 0.06 A / (2π × 60 Hz × 100 V) ≈ 1.59 × 10⁻⁶ F = 1.59 μF.
정전용량은 C = I/(2πfV) = 0.06/(2π×60×100) ≈ 1.59[μF].
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