개념 한 쪽
정현파 교류는 크기와 위상을 가진 벡터로 나타내어 다룬다. 같은 주파수의 정현파끼리는 위상차가 일정하므로 벡터 합성이 가능하지만, 주파수가 다르면 위상 비교 자체가 성립하지 않는다. 또 한 주기 전체의 평균은 0이라는 성질과, 평균값·실효값을 구분해 계산하는 것이 이 개념의 핵심이다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
출제기준 단원 「회전벡터와 정지벡터」의 공개 문제 1개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 병렬회로 분지전류 벡터합 | 1 | 저항과 용량성 리액턴스 병렬에서 각 분지전류를 구해 90° 벡터합으로 전전류를 구하기 |
가장 자주 묻는 것은 병렬회로 분지전류 벡터합입니다.
정현파 교류는 sin 앞의 값(최대값), 각주파수, 위상각으로 표현한다. sin(ωt+φ) 꼴에서 ω는 회전하는 벡터의 회전 속도에 해당하고, φ는 시작 시점의 위상이다. 회전벡터로 나타낼 수 있는 것은 같은 주파수를 가진 정현파끼리뿐이다. 두 정현파의 주파수가 다르면 매 순간 위상차가 계속 변하므로 「몇 도 앞선다, 뒤진다」는 비교가 성립하지 않는다. 예를 들어 60Hz와 180Hz(3배 고조파) 정현파를 비교하면 위상관계는 의미가 없다.
정현파의 값은 시간에 따라 +와 −가 번갈아 나온다. 한 주기(사이클) 전체를 그대로 평균하면 양의 부분과 음의 부분이 크기가 같아 서로 상쇄되므로 수학적(대수적) 평균값은 0이 된다. 그래서 실무에서는 절대값을 취해 평균한 반파 평균값을 쓴다. 반파 평균값은 0.637×최대값이고, 실효값(rms, 열 효과로 정한 값)은 0.707×최대값이다. 반대로 최대값은 실효값의 1.414배(√2배)다.
교류 전류를 합성할 때는 위상차를 반드시 확인한다. 위상차가 90°면 두 값을 그대로 더하면 안 되고 피타고라스 정리로 벡터합을 구한다. sin 앞에 √2가 붙어 있으면 그것은 최대값이므로 √2를 떼면 실효값이 된다. 실효값끼리 90° 위상차로 합성하면 √(I₁²+I₂²)가 된다.
전력 계산에서도 같은 원리가 적용된다. 부하가 여러 개일 때는 피상전력(S)을 그냥 더하지 않고, 유효전력(P)과 무효전력(Q)을 각각 구해 합산한 뒤 S = √(P²+Q²)로 벡터합한다. 이때 지상(자상) 무효전력은 음수, 진상 무효전력은 양수로 놓으면 상쇄 여부가 바로 보인다.
v1 = 220√2sin(2π·60t−30°)[V], v2 = 100√2sin(3·2π·60t−30°)[V]의 예를 보자. v1의 각주파수는 2π·60으로 60Hz, v2는 3배이므로 180Hz다. 주파수가 다르므로 위상 비교는 무의미하다. −30°라는 같은 위상각에 현혹되어 앞섬·뒤짐을 계산하면 틀린다.
전류 식이 3√2sin(377t−30°)(A)일 때의 평균값은 다음과 같이 구한다. 최대값 Im = 3√2 ≈ 4.24[A], 평균값 = 2Im/π = (2×4.24)/3.14 ≈ 2.7[A]. 377rad/s(≈60Hz)와 위상 −30°는 크기 계산과 무관하다. 만약 실효값을 물었다면 Im/√2 = 3[A]가 되므로, 물음이 평균값인지 실효값인지부터 확인해야 한다.
실효값 30[A]인 전류 i1과 이보다 π/2만큼 앞선 실효값 40[A]인 전류 i2의 합성 실효값은 다음과 같다. 위상차가 90°이므로 I = √(30²+40²) = √2500 = 50[A]다. 30:40:50은 3:4:5 직각삼각형이고, 70[A]은 위상이 다른 교류를 산술적으로 더한 오답이다.
저항 30[Ω], 용량성 리액턴스 40[Ω]의 병렬회로에 120[V]의 정현파 교번전압을 가할 때 전전류 [A]는?
정답 ③ · 문제는 병렬으로 연결된 저항과 용량성 리액턴스에 전압을 가했을 때 전체 전류를 구하는 문제이다. 각 분지전류는 IR=120/30=4 A, IC=120/40=3 A이고 이들은 위상차 90도이므로 전체 전류는 벡터합 √(4²+3²)=5 A가 된다.
R·X 병렬회로 총전류는 분지전류의 벡터합: I=√(4²+3²)=5[A].
정현파 사이클의 수학적인 평균값은?
정답 ④ · 문제는 정현파 한 사이클의 수학적 평균값을 묻는다. 정현파는 한 주기 동안 양부호가 대칭으로 존재하므로 전체 주기의 평균은 양과 음이 상쇄되어 0이 된다.
정현파 한 주기(사이클) 전체의 수학적 평균은 양(+)과 음(−)이 상쇄되어 0이다.
어느 저항에 v1＝220√2sin(2πㆍ60t－30°)[V]와 v2＝100√2sin(3ㆍ2πㆍ60t－30°)[V]의 전압이 각각 걸릴 때 올바른 것은?
정답 ④ · 문제는 두 전압파형의 위상관계를 물어보는데 주파수가 서로 다른 신호 간의 위상 비교가 의미가 있는지를 묻고 있다. 위상 앞섬·뒤짐은 같은 주파수 신호끼리만 정의되는 개념이며 여기서는 하나가 60 Hz, 다른 하나가 180 Hz로 주파수가 달라 위상차를 의미있게 비교할 수 없다.
위상의 앞섬·뒤짐은 같은 주파수에서만 정의되므로 60Hz와 180Hz 정현파의 위상 비교는 무의미하다.
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