정현파 사이클의 수학적인 평균값은?
- 0.637×최대값
- 0.707×최대값
- 1.414×rms
- 0
정답과 해설 보기
정답 ④ · 문제는 정현파 한 사이클의 수학적 평균값을 묻는다. 정현파는 한 주기 동안 양부호가 대칭으로 존재하므로 전체 주기의 평균은 양과 음이 상쇄되어 0이 된다.
정현파 한 주기(사이클) 전체의 수학적 평균은 양(+)과 음(−)이 상쇄되어 0이다.
개념 한 쪽
전기공사산업기사 파고율과 파형률 — 정현파 평균값·실효값 비율
정현파 교류는 최대값·실효값·평균값이 서로 일정한 비율로 묶여 있다. 이 비율을 다듬어 파고율과 파형률을 정의한다. 한 주기 전체의 수학적 평균은 0이 되므로, 평균값은 반파 구간만 취한 값으로 정한다는 점이 출발점이다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「파고율과 파형률」의 공개 문제 2개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 정현파 평균값 정의 판단 | 1 | 한 사이클 전체 평균이 0이 되는 이유와 반파 평균값의 구분을 가리기 |
| 공진 회로 전압확대율 계산 | 1 | 특성 임피던스와 저항으로 Q를 구하고 단위 환산하기 |
뜻
정현파는 +와 −가 번갈아 나오는 파형이다. 한 주기(사이클) 전체의 값을 그대로 더해 평균하면 양(+) 부분과 음(−) 부분이 크기가 같아 서로 상쇄되므로, 수학적(대수적) 평균값은 0이 된다. 실무에서 평균이 0이면 쓸 수 없으므로 반파 평균값을 쓰는데, 이는 정현파의 절반 구간(절대값 구간)만 평균한 값으로 최대값의 0.637배(2/π배)다.
실효값(rms)은 열 효과로 정한 값으로 최대값의 0.707배(1/√2배)이고, 최대값은 실효값의 1.414배(√2배)다. 정현파 조건에서 이 비율들은 고정되어 있으므로, 하나의 값만 알면 나머지를 바로 환산할 수 있다.
파고율은 최대값을 실효값으로 나눈 비율이다. 정현파의 경우 최대값이 실효값의 √2배이므로 파고율은 √2 ≈ 1.414가 된다. 파형률은 실효값을 평균값으로 나눈 비율이며, 정현파의 경우 0.707을 0.637로 나눈 약 1.11이 된다. 즉 두 지표 모두 정현파의 고정 비율에서 바로 따라 나온 값이다.
이때 평균값 계산에서 위상각과 각주파수는 크기에 영향을 주지 않는다. 예컨대 i(t) = 3√2·sin(377t − 30°)[A]라는 전류에서 최대값은 3√2 ≈ 4.24[A]이고, 평균값은 2Im/π ≈ 2.7[A]가 된다. 377[rad/s]나 −30°는 크기 계산과 무관한 조건일 뿐이다. 물음이 평균값인지 실효값인지부터 구분해야 숫자 함정을 피한다.
파형의 주파수가 다른 두 정현파는 위상 비교 자체가 무의미하다. 위상의 앞섬·뒤짐은 같은 주파수의 두 파형에서만 정의되므로, 예컨대 60Hz와 180Hz(3배 고조파) 정현파의 −30° 위상차 비교는 성립하지 않는다. 이는 파형률·파고율을 다룰 때 같은 주파수 조건을 먼저 확인해야 한다는 원리와 통한다.
예제
정현파의 평균값 계산을 풀어 본다. 전류 i(t) = 3√2·sin(377t − 30°)[A]의 최대값은 Im = 3√2 ≈ 4.24[A]다. 정현파 평균값은 반파 평균으로 정의되므로, 평균값 = 2Im/π = (2 × 4.24)/3.14 ≈ 2.7[A]다. 각주파수 377[rad/s](약 60Hz)와 위상 −30°는 크기 계산과 무관하다.
같은 식에서 실효값을 물으면 Im/√2 = 3√2/√2 = 3[A]로 전혀 다른 답이 된다. 이처럼 평균·실효·최대값과 파고율·파형률을 돌아가며 묻는 유형이므로, "평균 = 0.637Im, 실효 = 0.707Im"을 비율로 구분해 두면 숫자 함정에 걸리지 않는다.
대표 기출 3문항
저항 R=4[Ω]과 용량성 리액턴스 Xc=3[Ω]이 직렬로 접속된 호로에 I=10[A]의 전류가 흐를 때, 교류 전력은 몇 [VA]인가?
- 400+j300
- 460-j320
- 400-j300
- 360+j420
정답과 해설 보기
정답 ③ · 교류 회로에서 복소 전력을 묻는 문제로 저항 4Ω과 용량성 리액턴스 −j3Ω에 전류 10A가 흐를 때 S=I²Z로 계산한다. I²=100, Z=4−j3이므로 S=100(4−j3)=400−j300 [VA]가 되어 허수부가 음수인 용량성 표현을 만족한다.
복소 전력 S = I²Z = 10²(4−j3) = 400−j300[VA], 용량성 리액턴스는 −j다.
R＝100[Ω], L＝1/π[H], C＝100/4π[pF]가 직렬로 연결되어 공진할 경우 이 공진회로의 전압확대율 Q는?
- 2×10³
- 2×10⁴
- 3×10³
- 3×10⁴
정답과 해설 보기
정답 ① · RLC 직렬 공진회로의 특성 임피던스 ω0L과 1/ω0C는 같습니다. 먼저 공진각주파수를 구하여 Q값을 계산하거나, 공진 시 Q = ω0L/R = 1/(ω0CR) 관계를 이용하여 계산합니다.
직렬 공진 전압확대율 Q=(1/R)√(L/C) — 특성 임피던스를 저항 R로 나눈 값이다.
자주 묻는 물음
- 정현파 한 주기 전체의 수학적 평균값은 얼마인가요?
- 0이다. 정현파는 +와 −가 번갈아 나오므로 한 주기(사이클) 동안의 값을 전부 더하면 양과 음이 상쇄된다. 실무에서는 절반 구간만 평균한 반파 평균값(0.637×최대값)을 쓴다.
- 파고율과 파형률은 각각 어떻게 구하나요?
- 파고율은 최대값/실효값, 파형률은 실효값/평균값이다. 정현파의 경우 최대값은 실효값의 1.414배, 평균값은 최대값의 0.637배이므로 파고율은 √2 ≈ 1.414, 파형률은 0.707/0.637 ≈ 1.11이 된다.
- 주파수가 다른 두 정현파의 위상을 비교할 수 있나요?
- 비교할 수 없다. 위상의 앞섬·뒤짐은 같은 주파수에서만 정의되므로, 60Hz와 180Hz 정현파의 위상차 비교는 무의미하다. 각주파수를 먼저 읽어 주파수가 다르면 위상 비교를 하지 않는다.
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