개념 한 쪽
교류 회로에서 전압과 전류를 복소수(페이저)로 다루면 직렬·병렬 회로를 직류 회로처럼 계산할 수 있다. 전압을 전류로 나누어 임피던스를 구하고, 위상차를 통해 회로가 유도성인지 용량성인지 판별한다. 소자별 위상 관계와 임피던스 삼각형 관계를 정확히 알면 계산 문제를 안정적으로 풀 수 있다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
출제기준 단원 「직병렬 회로의 페이저 해석」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 복소 임피던스 계산 | 1 | 켤레복소수 곱으로 Z = E/I를 전개해 R과 XL을 구하기 |
| 소자 위상 판별 | 1 | 전류가 90° 진상일 때의 소자를 가리기 |
| 코일 저항 계산 | 1 | 임피던스 삼각형에서 cosθ로 저항값 구하기 |
복소 전압을 복소 전류로 나누면 임피던스가 된다. 임피던스 Z = R + jXL는 교류 회로의 합성 저항을 나타내며, 실수부가 저항 R, 허수부가 유도 리액턴스 XL이다. 복소수 나눗셈은 분모의 켤레복소수(허수 부호를 바꾼 복소수)를 분자·분모에 곱해 분모를 실수로 만드는 것이 핵심이다. 분모는 곱셈 후 |I|² 꼴의 실수가 되고, 분자를 그 값으로 나누면 임피던스가 깔끔하게 떨어진다.
위상 판정은 sin과 cos의 관계에서 출발한다. cosωt = sin(ωt + 90°)이므로 sin파와 cos파는 항상 위상차 90°다. 전압이 sin, 전류가 cos로 주어지면 전류가 전압보다 90° 앞서는 진상이고, 이는 콘덴서(축전기) 소자의 특징이다. 반대로 코일은 전류가 90° 뒤처지는 지상, 순저항은 위상차 0°다.
코일처럼 R과 XL가 직렬로 섞인 회로는 임피던스 삼각형으로 다룬다. Z, R, XL는 직각삼각형 관계이며 위상차 θ가 그 사이각이다. 임피던스의 크기는 Z = V/I로 구하고, 저항은 R = Z·cosθ, 리액턴스는 X = Z·sinθ로 구한다. 코일의 저항을 물으면 cos을 쓰면 되고, sin 값을 고르면 리액턴스 함정에 걸린다.
직렬 회로는 임피던스로, 병렬 회로는 어드미턴스(Y = 1/Z)로 계산한다. R과 C가 병렬이면 Y = 1/R + jωC가 되고, 크기 관계는 제곱합의 루트를 쓴다. 1/Z = 1/R + 1/X처럼 스칼라로 그냥 더하면 엉뚱한 값이 나온다. 직류에서는 콘덴서가 개방이므로 흐르는 전류는 전부 저항을 지난다.
임피던스 궤적도 어드미턴스에서 출발한다. R-C 병렬에서 주파수가 변하면 Y의 실수부 1/R은 고정이고 허수부 ωC만 변해 반직선이 되고, 그 역수인 Z의 궤적은 제4상한 쪽 반원(중심 R/2, 반지름 R/2)이 된다. 직렬이면 반직선, 병렬이면 반원, L이면 제1상한·C이면 제4상한으로 구분한다.
복소 임피던스 계산의 대표 풀이를 본다. E = 14 + j38[V], I = 6 + j2[A]일 때 Z = E/I = (14 + j38)/(6 + j2)이다. 분모에 켤레복소수를 곱해 실수화하면 분모 = (6 + j2)(6 − j2) = 6² + 2² = 40, 분자 = (14 + j38)(6 − j2) = 160 + j200이므로 Z = (160 + j200)/40 = 4 + j5[Ω]가 된다. 따라서 R = 4[Ω], XL = 5[Ω]다.
코일의 위상 문제도 계산 흐름이 정형이다. 코일에 100[V]를 가하니 10[A]가 흐르고 위상차가 π/3[rad] = 60°라 하면, Z = V/I = 100/10 = 10[Ω]이고 R = Z·cosθ = 10 × 0.5 = 5[Ω]다. X = Z·sinθ ≈ 8.66[Ω]은 리액턴스 값으로, 저항을 물은 문제에서 이 값을 고르면 틀린다.
저항 30[Ω], 용량성 리액턴스 40[Ω]의 병렬회로에 120[V]의 정현파 교번전압을 가할 때 전전류 [A]는?
정답 ③ · 문제는 병렬으로 연결된 저항과 용량성 리액턴스에 전압을 가했을 때 전체 전류를 구하는 문제이다. 각 분지전류는 IR=120/30=4 A, IC=120/40=3 A이고 이들은 위상차 90도이므로 전체 전류는 벡터합 √(4²+3²)=5 A가 된다.
R·X 병렬회로 총전류는 분지전류의 벡터합: I=√(4²+3²)=5[A].
전류의 크기가 i1=30√2 sinωt[A], i2=40√2 sin(ωt+π/2)일 때 i1+i2 의 실효값은 몇[A] 인가?
정답 ① · 문제는 두 교류전류의 합의 실효값을 구하는 것이다. 각각의 실효값은 30[A], 40[A]이고 위상차가 90°이므로 합성 실효값은 직각벡터 합으로 I = √(30²+40²) = 50[A]가 된다.
90° 위상차 전류의 합성 실효값은 √(I₁²+I₂²)=√(30²+40²)=50[A]이다.
어떤 회로의 전압 및 전류가 V=10∠60° , I=5∠30° 일때 이 회로의 임피던스 Z[Ω]은?
정답 ① · 교류 회로에서 임피던스 Z는 전압 V를 전류 I로 나눈 값입니다. 주어진 복소수 V=10∠60°, I=5∠30°에 대해 Z = V/I를 계산하면, 크기는 10/5=2이고 위상각은 60°-30°=30°가 됩니다.
임피던스는 Z=V/I: 극형 나눗셈은 크기를 나누고 위상각을 빼라 → 2∠30° = √3+j1.
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