개념 한 쪽
비정현주기파는 기본파와 고조파의 합으로 나타낸다. 이렇게 분해하는 수학적 방법이 푸리에 분석이다. 각 성분은 주파수가 다르므로 실효값과 회로 계산을 성분별로 처리한다.
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출제기준 단원 「기본파와고조파의합」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 왜형률로 고조파 전압 산출 | 1 | 왜형률과 기본파 및 제3고조파 전압으로 제5고조파 전압을 구하기 |
| 비정현파 실효값 계산 | 1 | 기본파와 고조파 최댓값에서 제곱합으로 실효값을 구하기 |
| R-L 회로 고조파 전류 | 1 | 제3고조파에서 리액턴스 증가를 반영해 전류 실효값을 구하기 |
비정현주기파를 여러 정현파의 합으로 표시하는 것이 푸리에 분석이다. 합에는 직류 성분과 기본파, 고조파가 포함된다. 기본파는 원래 주기와 같은 주파수의 성분이고, 고조파는 기본파보다 높은 차수의 주파수 성분이다.
비정현파의 실효값은 각 성분 실효값의 제곱합의 제곱근으로 구한다. 최댓값 A인 정현파 성분의 실효값은 A/√2이므로 제곱하면 A²/2가 된다. 직류 성분은 값을 그대로 제곱해 더한다. 서로 다른 주파수 성분을 산술적으로 더하지 않는다.
왜형률은 기본파를 제외한 고조파 실효값의 제곱합을 기본파 실효값으로 나눈 값이다. 제3고조파와 제5고조파가 있으면 K=√(V3²+V5²)/V1로 계산한다. 왜형률 50%, 기본파 100V, 제3고조파 30V이면 제5고조파는 40V가 된다.
R-L 직렬회로에 비정현파 전압을 가하면 각 고조파를 따로 계산한다. 유도성 리액턴스는 주파수에 비례하므로 n차 고조파에서 nωL이 된다. 저항은 차수와 무관하게 그대로다. 제3고조파 전류는 해당 전압 실효값을 √(R²+(3ωL)²)로 나누어 구한다.
파형 전체를 같은 시간만큼 지연하면 기본파의 위상 지연에 고조파 차수를 곱한 만큼 각 고조파의 위상이 늦어진다. 기본파가 20° 늦으면 제2고조파는 40° 늦어진다. 직류 성분은 지연과 무관하게 그대로 남는다.
왜형률 계산은 K=√(V3²+V5²)/V1에 값을 넣어 진행한다. V1=100V, V3=30V, K=0.5이면 0.5=√(30²+V5²)/100이 된다. 양변에 100을 곱하고 제곱하면 2500=900+V5²가 된다. 따라서 V5²=1600이고 V5=40V이다.
실효값 계산은 각 성분을 실효값으로 바꾼 뒤 제곱합의 제곱근을 취한다. 기본파 최댓값이 30A, 제3고조파 최댓값이 40A이고 제3고조파 위상이 45°인 전류라면 기본파 실효값은 30/√2, 제3고조파 실효값은 40/√2이다. 제곱합은 30²/2+40²/2=450+800=1250이므로 실효값은 √1250≈35.4A이다. 위상 45°는 실효값에 영향을 주지 않는다.
기본파의 전압이 100[V]이고, 제3고조파 전압이 30[V], 전압파의 왜형률이 50[%]이면 제5고조파 전압은 몇 [V]인가?
정답 ④ · 왜형률(Distortion Factor) K는 기본파를 제외한 고조파 실효값의 제곱합의 제곱근을 기본파 실효값으로 나눈 값입니다. 식은 K = (V3^2 + V5^2 + ...)^(1/2) / V1 입니다.
왜형률 K=√(V3²+V5²)/V1, 분자가 50이므로 V5=√(50²−30²)=40[V].
전류 I = 30 sinωt + 40 sin (3ωt+45°)[A]의 실효값은 약 몇 [A] 인가?
정답 ② · 문제는 비정현파 전류의 실효값을 구하라는 것으로, 서로 다른 고조파의 실효값은 제곱합의 제곱근으로 계산한다. 각 성분의 실효값은 진폭/√2이지만 식을 간단히 하면 전체 실효값² = (30²/2) + (40²/2) = 450 + 800 = 1250이므로 실효값은 √1250 ≈ 35.4 A이다.
비정현파 실효값은 각 고조파 실효값 제곱합의 제곱근: √(30²/2+40²/2) ≈ 35.4[A].
R-L 직렬회로에서 V=10+100√2 sinωt + 100√2 sin(3ωt) [V]인 전압을 가할 때 제3고조파 전류의 실효값[A]은? (단, R = 8[Ω], ωL = 2[Ω]이다.)
정답 ① · R-L 직렬 회로에 비정현파 전압이 인가될 때, 각 고조파 성분은 독립적으로 계산됩니다. 제3고조파 전류를 구하기 위해 제3고조파 전압 성분인 100√2 sin(3ωt)를 확인합니다.
제3고조파 전류는 리액턴스가 3ωL=6Ω이 되어 I=V₃/√(R²+(3ωL)²)=100/10=10A다.
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