개념 한 쪽
비정현파교류는 여러 주파수의 정현파가 겹쳐진 파형이다. 이런 파형의 실효값은 각 성분을 단순히 더해서 구하지 않고, 제곱해서 더한 뒤 제곱근을 씌워 구한다. 파형이 정현파에서 얼마나 일그러졌는지 나타내는 왜형률도 같은 제곱합 원리로 계산한다.
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출제기준 단원 「전압의 실효값」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 왜형률 계산 | 1 | 고조파 비율의 제곱합으로 왜형률을 구하기 |
| 3상 고조파 상전압·선간전압 | 1 | 영상분 상쇄와 실효값 제곱합 원리로 두 전압 구하기 |
| 비정현파 전류 실효값 | 1 | 조파별 실효값의 제곱합 제곱근으로 전류 구하기 |
비정현파의 실효값은 각 조파(기본파·고조파·직류성분)의 실효값을 각각 제곱해 더한 것의 제곱근으로 구한다. 최대값이 A인 정현파 성분의 실효값은 A/√2이고, 직류성분은 그 값이 곧 실효값이 된다. 각 조파의 위상(예: 60°·45°)은 실효값에 영향을 주지 않으므로 계산에서 버린다.
3상 회로에서는 고조파의 차수에 따라 선간전압에 남는지가 달라진다. Y결선 전원에서 제3고조파처럼 3의 배수 차수(영상분)는 세 상에서 위상차가 120°의 3배, 곧 360°가 되어 모두 동위상이다. 그래서 선간전압 va − vb의 뺄셈에서 완전히 상쇄되고, 선간전압에는 기본파만 남는다. 상전압은 고조파까지 모두 포함해 제곱합의 제곱근으로 구한다.
왜형률은 파형이 정현파에서 얼마나 일그러졌는지 나타내는 지표다. 고조파들의 실효값을 기본파의 실효값으로 나눈 비율이며, 고조파가 여러 개면 각 고조파 비율을 제곱해 더한 뒤 제곱근을 씌운다. 고조파 비율을 단순히 더하면 안 된다.
비정현파 전압이 R-L 회로에 걸릴 때는 각 고조파끼리 서로 영향을 주지 않으므로 중첩의 원리로 따로따로 계산한다. 이때 n번째 고조파에서는 주파수가 n배가 되므로 코일의 유도성 리액턴스도 n배가 된다. 직류성분은 코일을 통과하지 못하고 저항에만 유효하다.
파고율과 파형률은 실효값을 기준으로 정의한 파형 지표다. 파고율은 최대값을 실효값으로 나눈 값이고, 파형률은 실효값을 평균값으로 나눈 값이다. 정현파는 파고율 1.414·파형률 1.11이고, 구형파는 최대값·실효값·평균값이 모두 같아 두 율이 모두 1이 된다.
비정현파 실효값의 대표 계산을 풀어본다. 기본파 최대값 30A와 제3고조파 최대값 40A(위상 여유 60°)로 이루어진 전류 파형의 실효값은, 각 조파의 최대값을 √2로 나눈 뒤 제곱합의 제곱근을 취한다.
I = √((30/√2)² + (40/√2)²) = √(450 + 800) = √1250 = 25√2 ≈ 35.4[A]
위상 60°는 실효값과 무관하므로 버린다. 최대값을 √2로 나누지 않고 √(30² + 40²) = 50을 그대로 쓰거나, 두 진폭의 합을 √2로 나누어 한 파형처럼 착각하면 함정에 빠진다.
왜형률 계산도 같은 원리다. 기본파를 기준으로 크기가 각각 0.6배·0.8배인 제3고조파와 제5고조파가 섞인 전압파의 왜형률은, 기본파를 1로 보아 다음처럼 구한다.
왜형률 = √(0.6² + 0.8²) = √(0.36 + 0.64) = √1 = 1, 곧 100%
고조파 비율을 단순히 더한 1.4는 답이 아니다. 반드시 제곱 → 합 → 루트 → 기본파로 나누기의 순서를 지킨다.
대칭 3상 회로가 있다. Y결선된 전원 한상의 전압의 순시값이 Va =√2 220sin ωt +√2 50sin (3ωt +30°)[V]일 때 상전압 및 선간전압의 실효값[V]은?
정답 ② · 문제는 Y결선된 한 상 전압에 기본주파 성분과 3차 고조파가 섞여 있을 때 상전압과 선간전압의 실효값을 구하는 문제이다. 기본주파 RMS는 220V, 3차 고조파는 50V이므로 한 상의 실효값은 두 성분의 제곱합의 제곱근으로 √(220²+50²)=225.61V가 된다.
제3고조파(영상분)는 선간에서 상쇄: 상전압 √(220²+50²), 선간 √3×220.
전류 i＝30sinωt＋40sin(3ωt＋60°)[A]의 실효값은 몇 [A] 인가?
정답 ① · 비정현파 전류의 실효값은 각 조파 실효값 제곱합의 제곱근으로 구합니다. 기본파의 최대값이 30[A]이므로 실효값은 30/√2[A]입니다.
비정현파 실효값은 조파별 (최대값/√2)의 제곱합의 제곱근: √(450+800)=25√2 A.
전류 i=30sinωt+40sin(3ω+45°)[A]의 실효값은 몇 [A]인가?
정답 ② · 비정현파 전류의 실효값은 각 고조파 실효값의 제곱합에 제곱근을 취한 값입니다. 주어진 전류 식에서 기본파의 실효값은 30/√2, 제3고조파의 실효값은 40/√2입니다.
비정현파 실효값은 각 고조파 실효값의 제곱합의 제곱근: I=√(450+800)=25√2[A]이다.
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