개념 한 쪽
불평형 3상 회로는 세 상의 크기나 위상이 어긋난 상태다. 이 불평형을 평형 성분인 정상분·역상분·영상분으로 나누어 해석하는 것이 대칭좌표법이다. 정상분은 순방향으로 도는 성분이고, 영상분은 세 상이 같은 방향으로 겹친 성분이라 중성선이 있어야 흐른다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
출제기준 단원 「정상」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 정상분 전압 계산 | 1 | 불평형 상전압에서 정상분을 공식으로 산출하기 |
| 영상분 통로 판별 | 1 | 영상분이 흐를 수 있는 결선 구성을 가리기 |
| 연산자 a 관계 | 1 | a의 거듭제곱 관계식으로 합을 정리하기 |
대칭좌표법은 불평형 3상을 정상분·역상분·영상분 세 가지 평형 성분으로 분해하는 방법이다. 정상분은 세 상이 기준상 순서대로 120°씩 어긋난 성분이다. 정상분 전압은 Va1 = (Va + aVb + a²Vc)/3로 구한다. 여기서 a는 크기 1인 벡터를 120° 돌린 연산자다.
평형 3상이면 역상분과 영상분이 0이 되고 정상분만 남는다. 이때 정상분은 기준상 전압 그 자체가 된다. 공식에 Vb = a²Va, Vc = aVa를 대입하면 a³ = 1 관계로 세 항이 모두 Va가 되어 3으로 나눈 값이 Va가 되기 때문이다.
연산자 a는 a³ = 1과 1 + a + a² = 0을 만족한다. 1, a, a²는 서로 120°씩 떨어져 있어 더하면 상쇄되어 0이 된다. 이 관계에서 a + a² = -1이 나온다. 정상분 계산의 부호 정리는 모두 이 두 식에서 나온다.
영상분은 세 상전류의 크기와 위상이 모두 같은 성분이다. 서로 상쇄되지 않고 합쳐지므로 돌아갈 통로가 필요한데, 그 통로가 중성선이다. 따라서 영상분이 존재하는 회로는 Y결선에 중성선을 붙인 3상 4선식이다. Δ결선이 포함된 3상 3선식은 중성선이 없어 영상분이 선측으로 흐르지 못한다.
영상 임피던스와 영상전류는 세 상 값의 평균으로 구한다. 영상 임피던스는 Z0 = (Za + Zb + Zc)/3, 영상전류는 I0 = (Ia + Ib + Ic)/3이다. 복소수는 실수부와 허수부를 따로 더한 뒤 3으로 나눈다. 합을 3으로 나누지 않은 값이 대표적인 함정이 된다.
세 상 전류가 각각 10 + j2, -20 - j24, -5 + j10인 불평형 회로에서 영상전류를 구한다. 실수부는 10 - 20 - 5 = -15, 허수부는 2 - 24 + 10 = -12이므로 합은 -15 - j12다. 이를 3으로 나누면 I0 = -5 - j4가 된다. 합 -15 - j12를 그대로 고르면 3으로 나누기를 빠뜨린 함정에 걸린다.
정상분 전압 계산에서는 Va = 60, Vb = 0, Vc = -10 + j120을 공식에 넣는다. a² = -0.5 - j0.866을 대입하면 a²Vc가 약 108.9 - j51.3이 되고, Va1 = (60 + 108.9 - j51.3)/3 ≈ 56 - j17이 된다. Va를 그대로 쓴 60 + j0은 평형일 때만 성립하는 값이라 틀리다.
3상 부하가 Y결선되었다. 각상의 임피던스 Za=3[Ω], Zb=3[Ω], Zc=j3[Ω]이다. 이 부하의 영상 임피던스[Ω]는?
정답 ② · 문제는 Y결선된 각상 임피던스가 주어질 때 영상 임피던감을 구하는 것이다. 영상 임피던스 Z0는 세 상 임피던스의 평균이므로 Z0 = (Za+Zb+Zc)/3 = (3+3+j3)/3 = 2+j[Ω]가 된다.
영상 임피던스는 Z0=(Za+Zb+Zc)/3=(3+3+j3)/3=2+j[Ω]이다.
대칭 3상 전압이 a상 Va[V], b상 Vb=a2Va[V], c상 Vc=aVa[V] a상을 기준으로 한 대칭분 전압 중 정상분 V1은 어떻게표시되는가?
정답 ② · 문제는 대칭 3상 전압에서 정상분 V1의 표현을 묻고 있다. 대칭(평형) 상태이면 역상분과 영상분은 0이고 정상분은 기준상 전압과 동일하게 된다.
대칭(평형) 3상은 정상분만 존재하며 V₁=(Va+aVb+a²Vc)/3=Va가 된다.
불평형 3상전류 Ia＝10＋j2[A], Ib＝-20－j24[A], Ic＝-5＋j10[A]일 때의 영상전류 Io의 값은 얼마인가?
정답 ② · 문제는 세 상전류의 합으로 영상전류를 구하는 단순 복소수 계산 문제이다. 영상전류 Io = (Ia+Ib+Ic)/3 이므로 실수부와 허수부를 각각 더하면 실수부 10−20−5 = −15, 허수부 2−24+10 = −12가 되고 이를 3으로 나누면 −5−j4 A가 된다.
영상전류 Io = (Ia+Ib+Ic)/3이므로 (-15-j12)/3 = -5-j4[A]가 된다.
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