개념 한 쪽
불평형 3상 회로는 대칭좌표법으로 정상분·역상분·영상분의 평형인 성분들로 나누어 계산한다. 이 개념에서는 발전기의 대칭분 기본식, 영상 임피던스와 영상전류 계산, 전압 불평형률, 연산자 a의 관계식을 다룬다. 기본 공식과 a³=1, 1+a+a²=0 두 관계만 잡으면 대부분의 계산이 정리된다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기
출제기준 단원 「1선지락」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 영상 임피던스 계산 | 1 | 불평형 Y결선 부하 세 상 임피던스의 평균 구하기 |
| 전압 불평형률 계산 | 1 | 역상 전압과 정상 전압의 비율 구하기 |
| 대칭 3상 정상분 표시 | 1 | 평형 3상 전압의 정상분을 연산자 a 관계로 정리하기 |
대칭좌표법은 크기와 위상이 어긋난 불평형 3상을 세 가지 평형 성분으로 분해하는 방법이다. 정상분은 순방향으로 회전하는 성분, 역상분은 역방향으로 회전하는 성분, 영상분은 세 상이 크기와 위상이 모두 같은 성분이다. 평형 3상에서는 정상분만 존재하고 역상분과 영상분은 0이 된다.
교류 발전기가 만드는 유기기전력은 세 상이 균형된 정상분뿐이다. 따라서 단자 전압의 대칭분 기본식은 V0 = -Z0I0, V1 = Ea - Z1I1, V2 = -Z2I2가 된다. 영상분과 역상분에는 기전력이 없으므로 임피던스 강하 항만 남고, 정상분에만 유기기전력 Ea가 들어간다.
영상 성분은 세 상 값의 산술평균이다. 불평형 Y 부하의 영상 임피던스는 Z0 = (Za+Zb+Zc)/3이고, 영상전류는 I0 = (Ia+Ib+Ic)/3으로 구한다. 복소수 계산은 실수부와 허수부를 따로 더한 뒤 3으로 나누면 실수를 줄일 수 있다.
영상분 전류는 세 상 전류가 같은 방향으로 흐르는 성분이므로 돌아갈 길이 필요하다. 그 길이 중성선이다. 따라서 중성선이 있는 Y-Y 3상 4선식에서만 영상분 전류가 존재할 수 있고, 중성선이 없는 3상 3선식 선전류에는 영상분이 나타나지 않는다.
전압 불평형률은 역상 전압을 정상 전압으로 나눈 비율로 정의한다. 영상 전압은 불평형률 계산에 쓰지 않으며, 문제에 함께 주어지면 함정 수치일 수 있다.
연산자 a = e^(j120°)는 크기 1인 벡터를 반시계 방향으로 120° 돌린 것이다. a³ = 1이고 1 + a + a² = 0이므로 a + a² = -1이 된다. 이 두 관계식으로 a의 거듭제곱과 합·차를 모두 계산할 수 있다.
영상 임피던스 계산 — 각상 임피던스가 각각 3[Ω], 3[Ω], j3[Ω]인 Y결선 부하에서는 Z0 = (3+3+j3)/3 = 2+j[Ω]이다.
영상전류 계산 — 각 상 전류가 10+j2[A], -20-j24[A], -5+j10[A]일 때, 실수부 합은 10-20-5 = -15, 허수부 합은 2-24+10 = -12이므로 I0 = (-15-j12)/3 = -5-j4[A]가 된다.
전압 불평형률 계산 — 역상 전압 50V, 정상 전압 200V, 영상 전압 10V가 주어진 조건에서 불평형률 = 역상 전압/정상 전압 = 50/200 = 0.25이다. 영상 전압 10V는 계산에 쓰지 않는다.
정상분 계산 — 대칭 3상 전압에서 Vb = a²Va, Vc = aVa일 때 V1 = (Va+aVb+a²Vc)/3 = (Va+a³Va+a³Va)/3 = Va, 즉 정상분은 기준상 전압과 같다.
3상 부하가 Y결선되었다. 각상의 임피던스 Za=3[Ω], Zb=3[Ω], Zc=j3[Ω]이다. 이 부하의 영상 임피던스[Ω]는?
정답 ② · 문제는 Y결선된 각상 임피던스가 주어질 때 영상 임피던감을 구하는 것이다. 영상 임피던스 Z0는 세 상 임피던스의 평균이므로 Z0 = (Za+Zb+Zc)/3 = (3+3+j3)/3 = 2+j[Ω]가 된다.
영상 임피던스는 Z0=(Za+Zb+Zc)/3=(3+3+j3)/3=2+j[Ω]이다.
3상 불평형 전압에서 역상 전압이 50V이고 정상 전압이 200V, 영상 전압이 10V라고 할 때 전압 불평형률은?
정답 ③ · 문항은 3상 불평형에서 전압 불평형률을 묻고 있다. 전압 불평형률은 역상전압을 정상전압으로 나눈 값으로 정의되므로 50V ÷ 200V = 0.25가 된다.
전압 불평형률=역상전압/정상전압=50/200=0.25이고, 영상전압은 쓰지 않는다.
대칭 3상 전압이 a상 Va[V], b상 Vb=a2Va[V], c상 Vc=aVa[V] a상을 기준으로 한 대칭분 전압 중 정상분 V1은 어떻게표시되는가?
정답 ② · 문제는 대칭 3상 전압에서 정상분 V1의 표현을 묻고 있다. 대칭(평형) 상태이면 역상분과 영상분은 0이고 정상분은 기준상 전압과 동일하게 된다.
대칭(평형) 3상은 정상분만 존재하며 V₁=(Va+aVb+a²Vc)/3=Va가 된다.
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